Сколько уроков учитель сможет выстраивать класс так, чтобы каждый урок у каждого ребенка были соседи, ни с одним

Баська

56

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить метод перестановок.

Для начала, давайте посмотрим, сколько всего возможных вариантов расположения учеников в кругу имеется. У нас есть 24 ученика, поэтому первого ученика мы можем выбрать любого. Затем выбор следующего ученика будет зависеть от пола предыдущего ученика. Если предыдущий ученик мальчик, то следующим должна быть девочка, и наоборот. Таким образом, для каждого выбора последующего ученика, у нас будет два варианта. При этом, в конце, мы получим циклическую последовательность, которую можно рассматривать с точностью до поворота, так как любая возможная перестановка может быть повернута.

Теперь мы знаем, что всего вариантов расположения учеников будет \(2^{23}\) (поскольку мы выбираем 23 последующих учеников для каждого предыдущего), но нам нужно учесть, что мы не можем просто повернуть круг, чтобы получить новую перестановку. Поскольку мы рассматриваем круг, возникают повторения, потому что, например, перестановки "мальчик-девочка-мальчик-..." и "девочка-мальчик-девочка-..." являются одной и той же перестановкой. Таким образом, нам нужно поделить общее количество вариантов на 24, чтобы учесть эти повторения.

Итак, общее количество уникальных перестановок будет равно \(\frac{{2^{23}}}{24}\).

А чтобы каждый урок каждого ребенка был соседом, ни с одним из которых он не стоял ранее, мы можем просто разделить общее количество уникальных перестановок на количество учеников в классе. В данном случае у нас 24 ученика.

Таким образом, количество возможных уроков, которые учитель сможет выстраивать класс, будет равно:

\[\frac{{2^{23}}}{24 \cdot 24}\]

Посчитаем это:

\[
\frac{{2^{23}}}{24 \cdot 24} = \frac{{8388608}}{576} \approx 14580.
\]

Ответ: Учитель сможет выстраивать класс так, чтобы каждый урок каждого ребенка был соседом, ни с одним из которых он еще ни разу не стоял, в \(14580\) различных вариантах.