Сколько вариантов кодов из шести букв, составленных из букв п, е, т, я, может создать Петя? Условия: каждую букву можно

Семён

67

Добро пожаловать! Для решения данной задачи нам потребуется применить комбинаторику. По условию, у нас имеются 4 буквы: п, е, т, я и нам нужно составить код из 6 букв. Петя может использовать каждую из этих букв любое количество раз или вообще не использовать ее. Однако, условием является то, что нельзя ставить подряд две гласные или две согласные.

Давайте рассмотрим несколько вариантов решения этой задачи.

1. Решение с помощью таблицы возможных комбинаций:

Для начала, построим таблицу возможных комбинаций из данных букв.

| Буква 1 | Буква 2 | Буква 3 | Буква 4 | Буква 5 | Буква 6 |
| ------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- |
| п | п | п | п | п | п |
| п | п | п | п | п | е |
| п | п | п | п | п | т |
| п | п | п | п | п | я |
| ... | | | | | |

Продолжим эту таблицу, заполнив оставшиеся строки. Важно помнить, что мы не можем ставить две гласные или две согласные подряд.

Когда таблица будет полностью заполнена, мы просуммируем количество возможных комбинаций. В каждую ячейку таблицы мы можем вписать одну букву из данных п, е, т, я, так как каждую из них можно использовать любое количество раз или не использовать вообще. Таким образом, ответом на задачу будет сумма всех чисел в таблице.

2. Решение с помощью рекуррентной формулы:

Если мы обратим внимание на задачу, то заметим, что каждый код будет иметь 6 позиций, и на каждой позиции может находиться одна из 4-х букв. Обозначим количество комбинаций, которые можно получить на позиции \(n\) через \(f(n)\). Тогда нам потребуется найти \(f(6)\).

Итак, позиция 1 может быть заполнена любой буквой (4 варианта). Позиция 2 может быть заполнена любой буквой (также 4 варианта).

Обратим внимание на позицию 3. Она может быть заполнена одной из 4 букв, но мы не можем поставить рядом две согласные или две гласные. Таким образом, из 4 вариантов, мы должны исключить 3 варианта, в которых на позиции 3 будет та же гласная или согласная, что и на позиции 2. Остаётся только 1 вариант на позиции 3.

То же самое применимо к позициям 4, 5 и 6.

Таким образом, на каждой позиции имеется 1 вариант выбора, за исключением первых двух позиций, где изначально имеется 4 варианта выбора. Поэтому можно записать следующее:

\(f(1) = 4\)

\(f(2) = 4\)

\(f(n) = 1\) при \(n > 2\)

Теперь мы можем вычислить значение \(f(6)\):

\[f(6) = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1\]

Итак, у Пети будет всего 1 вариант кода из 6 символов, удовлетворяющего данным условиям.

Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять задачу и способы ее решения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!