Сколько верных ответов дала Настя, если Маша, Настя и Дина вместе дали 60 верных ответов, а количество верных ответов

Тимофей_3780

32

Для решения этой задачи нам понадобится внимательно прочитать условие и постепенно разобраться с каждым условием.

Пусть количество верных ответов Маши будет обозначено как \(М\), количество верных ответов Насти будет обозначено как \(Н\), а количество верных ответов Дины будет обозначено как \(Д\).

Исходя из условия, у нас есть следующие данные:
1. \(М + Н + Д = 60\) - сумма всех верных ответов составляет 60.
2. \(М = \frac{Н + Д}{2}\) - количество верных ответов Маши вдвое меньше, чем сумма верных ответов Насти и Дины.
3. \(Н + М = Д + 10\) - сумма верных ответов Насти и Маши на 10 больше, чем количество верных ответов Дины.

Давайте решим эту систему уравнений, чтобы найти значения \(М\), \(Н\) и \(Д\).

1. Из второго условия мы получаем \(М = \frac{Н + Д}{2}\).
2. Из третьего условия, используя предыдущее равенство, мы получаем \(Н + \frac{Н + Д}{2} = Д + 10\).
3. Раскрывая скобки, получаем \(2Н + Н + Д = 2Д + 20\).
4. Переносим все переменные на одну сторону, чтобы получить линейное уравнение: \(2Н - 2Д = 20 - Д - Н\).
5. Упрощаем его до следующего вида: \(Н - 2Д = 20\).

Теперь мы можем использовать первое и последнее уравнения для решения системы.

1. Из первого уравнения мы можем выразить \(М\) через \(Н\) и \(Д\): \(М = 60 - Н - Д\).
2. Подставляем это значение \(М\) в уравнение \(М = \frac{Н + Д}{2}\): \(60 - Н - Д = \frac{Н + Д}{2}\).
3. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: \(120 - 2Н - 2Д = Н + Д\).
4. Перегруппируем слагаемые, чтобы получить: \(3Н + 3Д = 120\).

Теперь у нас есть два уравнения:
\[\begin{align*}
Н - 2Д &= 20 \\
3Н + 3Д &= 120
\end{align*}\]

Эти уравнения можно решить методом подстановки или методом сложения/вычитания. Я воспользуюсь последним методом.

1. Умножим первое уравнение на 3, чтобы сделать коэффициенты при \(Д\) одинаковыми:
\[\begin{align*}
3Н - 6Д &= 60 \\
3Н + 3Д &= 120
\end{align*}\]

2. Вычтем первое уравнение из второго:
\[\begin{align*}
(3Н + 3Д) - (3Н - 6Д) &= 120 - 60 \\
9Д &= 60 \\
Д &= 6 \quad \text{(делаем здесь цифры жирными, что бы их было легче различать)}
\end{align*}\]

Теперь найдем значения \(Н\) и \(М\), подставив \(Д = 6\) в одно из наших первоначальных уравнений. Для примера возьмем первое уравнение:

\[\begin{align*}
Н - 2Д &= 20 \\
Н - 2\cdot6 &= 20 \\
Н - 12 &= 20 \\
Н &= 20 + 12 \\
Н &= 32
\end{align*}\]

Используя значение \(Н = 32\) и \(Д = 6\), мы можем найти \(М = 60 - Н - Д\):

\[\begin{align*}
М &= 60 - 32 - 6 \\
М &= 22
\end{align*}\]

Итак, у нас получилось, что \(М = 22\), \(Н = 32\) и \(Д = 6\).

Ответ: Настя дала 32 верных ответа.