Сколько восьмизначных чисел с суммой цифр, равной 71, выписал Мистер Фокс на доске?

Пушик

5

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти количество восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна 71. Для этого воспользуемся комбинаторикой.

Поскольку нам дано восьмизначное число, оно будет иметь следующий вид: \(_ _ _ _ _ _ _ _\), где каждое подчеркнутое пробелом место представляет отдельную цифру числа.

Из условия задачи следует, что сумма цифр должна быть равна 71. Значит, нам нужно разделить 71 элемент (сумма всех цифр) между 8 цифрами числа.

Для решения данной задачи применим технику, известную как "размещение с повторениями". Нам нужно разместить 71 элемент между 8 цифрами числа, причем порядок цифр важен, так как это восьмизначное число.

Формулой для размещения с повторениями является:
\[n! / (n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!)\]
где \(n\) - общее количество элементов, а \(n_1, n_2,..., n_k\) - количество повторяющихся элементов.

В нашем случае \(n = 71\) (сумма цифр) и \(n_1 = 8\) (количество цифр в числе).

Вычислим значение:
\[
A(71, 8) = \frac{{71!}}{{8!}} = \frac{{71!}}{{8! \cdot (71 - 8)!}} = \frac{{71!}}{{8! \cdot 63!}}
\]

Теперь посчитаем это значение:

\[
\frac{{71!}}{{8! \cdot 63!}} = \frac{{71 \cdot 70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64 \cdot 63!}}{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 63!}} = \frac{{71 \cdot 70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64}}{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 876 690 350
\]

Таким образом, Мистер Фокс выписал 876 690 350 восьмизначных чисел с суммой цифр, равной 71, на доске.