Сколько времени потребуется для удвоения суммы вклада при годовой ставке 11%, если проценты начисляются

Щелкунчик

70

Для решения этой задачи нам понадобятся основные понятия из финансовой математики: начисление процентов и капитализация.

Начисление процентов означает, что по истечении определенного периода времени к исходной сумме вклада добавляется определенный процент. В данной задаче указано, что проценты начисляются ежегодно.

Капитализация означает добавление начисленных процентов к исходной сумме, чтобы они в дальнейшем тоже участвовали в начислении процентов. В данной задаче также указано, что проценты капитализируются ежегодно.

Давайте рассмотрим подробно, как можно решить эту задачу.

Пусть \(P\) - исходная сумма вклада, \(r\) - годовая процентная ставка в десятичном виде (в нашем случае 11% = 0.11), \(t\) - количество лет, за которое мы хотим удвоить сумму вклада, и \(A\) - конечная сумма вклада (удвоенная сумма).

Мы знаем, что конечная сумма вклада равна исходной сумме вклада, умноженной на \(1 + r\) в степени \(t\) (так как проценты начисляются и капитализируются ежегодно):

\[A = P \cdot (1 + r)^t\]

В нашем случае мы хотим узнать, сколько времени потребуется для удвоения суммы вклада, то есть мы хотим найти значение переменной \(t\). Перепишем уравнение в следующем виде:

\[\frac{A}{P} = (1 + r)^t\]

Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

\[\log\left(\frac{A}{P}\right) = \log\left((1 + r)^t\right)\]

Свойство логарифма позволяет нам переписать это уравнение в следующем виде:

\[\log\left(\frac{A}{P}\right) = t \cdot \log(1 + r)\]

Теперь осталось только решить это уравнение относительно \(t\). Для этого мы делим обе части уравнения на \(\log(1 + r)\):

\[t = \frac{\log\left(\frac{A}{P}\right)}{\log(1 + r)}\]

Итак, мы получили формулу для вычисления значения переменной \(t\). Теперь нам нужно только подставить известные значения: исходную сумму вклада \(P\) и желаемую удвоенную сумму вклада \(A\), а также годовую процентную ставку \(r\), чтобы найти ответ.

Обратите внимание, что при подсчете логарифма мы должны использовать натуральный логарифм (логарифм с основанием \(e\)).

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять, как решить данную задачу и дать корректный ответ на вопрос. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!