Сколько времени потребуется для удвоения суммы вклада при годовой ставке 11%, если проценты начисляются

Щелкунчик

70

Для решения этой задачи нам понадобятся основные понятия из финансовой математики: начисление процентов и капитализация.

Начисление процентов означает, что по истечении определенного периода времени к исходной сумме вклада добавляется определенный процент. В данной задаче указано, что проценты начисляются ежегодно.

Капитализация означает добавление начисленных процентов к исходной сумме, чтобы они в дальнейшем тоже участвовали в начислении процентов. В данной задаче также указано, что проценты капитализируются ежегодно.

Давайте рассмотрим подробно, как можно решить эту задачу.

Пусть $P$ - исходная сумма вклада, $r$ - годовая процентная ставка в десятичном виде (в нашем случае 11% = 0.11), $t$ - количество лет, за которое мы хотим удвоить сумму вклада, и $A$ - конечная сумма вклада (удвоенная сумма).

Мы знаем, что конечная сумма вклада равна исходной сумме вклада, умноженной на $1+r$ в степени $t$ (так как проценты начисляются и капитализируются ежегодно):

$$A=P\cdot (1+r{)}^t$$

В нашем случае мы хотим узнать, сколько времени потребуется для удвоения суммы вклада, то есть мы хотим найти значение переменной $t$. Перепишем уравнение в следующем виде:

$$\frac{A}{P}=(1+r{)}^t$$

Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

$$\log \left(\frac{A}{P}\right)=\log ((1+r{)}^t)$$

Свойство логарифма позволяет нам переписать это уравнение в следующем виде:

$$\log \left(\frac{A}{P}\right)=t\cdot \log (1+r)$$

Теперь осталось только решить это уравнение относительно $t$. Для этого мы делим обе части уравнения на $\log (1+r)$:

$$t=\frac{\log \left(\frac{A}{P}\right)}{\log (1+r)}$$

Итак, мы получили формулу для вычисления значения переменной $t$. Теперь нам нужно только подставить известные значения: исходную сумму вклада $P$ и желаемую удвоенную сумму вклада $A$, а также годовую процентную ставку $r$, чтобы найти ответ.

Обратите внимание, что при подсчете логарифма мы должны использовать натуральный логарифм (логарифм с основанием $e$).

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять, как решить данную задачу и дать корректный ответ на вопрос. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!