Сколько времени занимает у мастера и ученика выполнение работы по отдельности, если мастер выполняет работу на 5 часов

Artur_4158

40

Давайте решим эту задачу пошагово для лучшего понимания.

Пусть время, которое мастеру требуется на выполнение работы, равно \(x\) часов. Тогда, время, которое ученику требуется на выполнение работы, будет равно \(x + 5\) часов, так как мастер выполняет работу на 5 часов быстрее.

Мастер и ученик вместе выполняют работу за 6 часов. Используем метод единого делителя для нахождения времени, которое им требуется на выполнение работы вместе.

Если мастер и ученик работают вместе в течение 6 часов, то количество работы, выполненное ими вместе, должно быть равно полной работы. То есть, мы можем сказать, что:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}
\]

Теперь решим эту уравнение.

Перейдем к поиску общего знаменателя:

\[
\frac{(x + 5) + x}{x(x + 5)} = \frac{1}{6}
\]

Суммируем дроби:

\[
\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}
\]

Умножим обе части уравнения на 6(x^2 + 5x), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
6(2x + 5) = x^2 + 5x
\]

Раскроем скобки:

\[
12x + 30 = x^2 + 5x
\]

Приведем все члены уравнения в одну степень:

\[
x^2 + 5x - 12x - 30 = 0
\]

Сократим:

\[
x^2 - 7x - 30 = 0
\]

Факторизуем это квадратное уравнение:

\[
(x - 10)(x + 3) = 0
\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(x\):

1) \(x - 10 = 0\). Решением будет \(x = 10\).

2) \(x + 3 = 0\). Решением будет \(x = -3\).

Однако, время не может быть отрицательным, поэтому отвергаем решение \(x = -3\).

Таким образом, мастеру требуется 10 часов на выполнение работы, а ученику - 15 часов (так как мастер выполняет работу на 5 часов быстрее).