Сколько времени занимает у мастера и ученика выполнение работы по отдельности, если мастер выполняет работу на 5 часов

Artur_4158

40

Давайте решим эту задачу пошагово для лучшего понимания.

Пусть время, которое мастеру требуется на выполнение работы, равно $x$ часов. Тогда, время, которое ученику требуется на выполнение работы, будет равно $x+5$ часов, так как мастер выполняет работу на 5 часов быстрее.

Мастер и ученик вместе выполняют работу за 6 часов. Используем метод единого делителя для нахождения времени, которое им требуется на выполнение работы вместе.

Если мастер и ученик работают вместе в течение 6 часов, то количество работы, выполненное ими вместе, должно быть равно полной работы. То есть, мы можем сказать, что:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Теперь решим эту уравнение.

Перейдем к поиску общего знаменателя:

$$\frac{(x+5)+x}{x(x+5)}=\frac{1}{6}$$

Суммируем дроби:

$$\frac{2x+5}{x^2+5x}=\frac{1}{6}$$

Умножим обе части уравнения на 6(x^2 + 5x), чтобы избавиться от знаменателя:

$$6(2x+5)=x^2+5x$$

Раскроем скобки:

$$12x+30=x^2+5x$$

Приведем все члены уравнения в одну степень:

$$x^2+5x-12x-30=0$$

Сократим:

$$x^2-7x-30=0$$

Факторизуем это квадратное уравнение:

$$(x-10)(x+3)=0$$

Таким образом, получаем два возможных значения для $x$:

1) $x-10=0$. Решением будет $x=10$.

2) $x+3=0$. Решением будет $x=-3$.

Однако, время не может быть отрицательным, поэтому отвергаем решение $x=-3$.

Таким образом, мастеру требуется 10 часов на выполнение работы, а ученику - 15 часов (так как мастер выполняет работу на 5 часов быстрее).