Сколько всего стеклянных декоративных шариков имеется, если, если разложить их в пакетиках по 9 шариков, останется

Sovenok

33

Пусть общее количество стеклянных декоративных шариков равно \(N\).

Исходя из условия задачи, мы можем записать три уравнения:

\[
\begin{align*}
N &\equiv 8 \pmod{9} \\
N &\equiv 7 \pmod{8} \\
N &\equiv 5 \pmod{6}
\end{align*}
\]

Здесь символ "\(\equiv\)" означает "конгруэнтно" и используется для обозначения сравнения по модулю.

Для решения данной системы сравнений, нам нужно найти значение \(N\), которое будет удовлетворять всем конгруэнтностям одновременно.

Давайте решим первые два уравнения с помощью подбора чисел, чтобы найти общее значение:

Проверим значения модуля \(9\):

\[
\begin{align*}
8 \pmod{9} &= 8 \\
7 \pmod{9} &= 7 \\
\end{align*}
\]

Получается, что числа \(8\) и \(7\) удовлетворяют первым двум уравнениям.

Теперь рассмотрим третье уравнение и проверим значения модуля \(6\):

\[
\begin{align*}
8 \pmod{6} &= 2 \\
7 \pmod{6} &= 1 \\
5 \pmod{6} &= 5 \\
\end{align*}
\]

Заметим, что только число \(5\) удовлетворяет третьему уравнению.

Таким образом, число \(N\) должно удовлетворять трем уравнениям:
\[
\begin{align*}
N &\equiv 8 \pmod{9} \\
N &\equiv 7 \pmod{8} \\
N &\equiv 5 \pmod{6}
\end{align*}
\]

Проанализировав первые два уравнения, мы можем заметить, что \(N\) в модуле \(8\) будет иметь остаток \(7\).

Из этого следует, что \(N\) может быть представлено в виде \(N = 8k + 7\), где \(k\) - целое число.

Подставим \(N = 8k + 7\) в третье уравнение:

\[
8k + 7 \equiv 5 \pmod{6}
\]

Упростим это уравнение:

\[
2k + 1 \equiv 5 \pmod{6}
\]

Вычтем \(1\) из обеих частей уравнения:

\[
2k \equiv 4 \pmod{6}
\]

Поделим обе части на \(2\):

\[
k \equiv 2 \pmod{6}
\]

Теперь мы знаем, что \(k\) может быть представлено в виде \(k = 6m + 2\), где \(m\) - целое число.

Подставим \(k = 6m + 2\) в \(N = 8k + 7\):

\[
N = 8(6m + 2) + 7 = 48m + 23
\]

Таким образом, общее количество стеклянных декоративных шариков равно \(N = 48m + 23\), где \(m\) - целое число.

Ответ: Общее количество стеклянных декоративных шариков может быть представлено в виде \(N = 48m + 23\), где \(m\) - целое число, и \(N\) - количество шариков.