Сколько золотых монет было у каждого из гномов, если они разделили добычу в 120 монет и Фарин заметил, что если

Павел_9573

10

Для решения данной задачи нам потребуется провести некоторые вычисления. Давайте начнем с того, что предположим, что у Фарина и Двалина в начале имелось одинаковое количество монет, обозначим это количество за \(x\). Тогда у Балина, согласно условию, будет в пять раз больше монет, то есть \(5x\).

Согласно условию задачи, когда Фарин отдаст половину своих монет Двалину, у Двалина и Балина будет равное количество монет. После передачи половины своих монет, у Фарина останется \(\frac{x}{2}\) монет, у Двалина будет \(x + \frac{x}{2}\) монет, что равно \(\frac{3x}{2}\), и у Балина также будет \(\frac{3x}{2}\) монет.

Теперь посмотрим на случай, когда Фарин отдаст половину своих монет Балину. В этом случае у Фарина останется \(\frac{x}{2}\) монет, у Двалина останется \(\frac{3x}{2}\) монет, и, согласно условию, у Балина будет в пять раз больше монет, чем у Двалина. Поэтому, имеем уравнение \(\frac{x}{2} = 5 \cdot \left(\frac{3x}{2}\right)\).

Теперь решим это уравнение:

\[\frac{x}{2} = 5 \cdot \left(\frac{3x}{2}\right)\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[x = 5 \cdot 3x\]

Раскроем скобку справа:

\[x = 15x\]

Перенесем все члены с неизвестным \(x\) на одну сторону:

\[15x - x = 0\]

\[14x = 0\]

Теперь разделим обе части уравнения на 14, чтобы найти значение \(x\):

\[x = \frac{0}{14} = 0\]

Итак, получаем, что исходное предположение о том, что у Фарина и Двалина равное количество монет, неверно. Значит, нужно попробовать другое предположение. Пусть \(y\) - количество монет у Фарина, а \(z\) - количество монет у Двалина и Балина.

Тогда условие задачи можно переформулировать следующим образом:

\[
\begin{align*}
y + z &= 120 \quad \text{(всего монет)} \\
\frac{y}{2} &= z \quad \text{(если отдать половину монет Двалину)} \\
\frac{y}{2} &= 5z \quad \text{(если отдать половину монет Балину)}
\end{align*}
\]

Из второго уравнения получим, что \(y = 2z\), а из третьего уравнения - что \(y = 10z\). Таким образом, имеем систему уравнений:

\[
\begin{align*}
y + z &= 120 \\
y - 2z &= 0 \\
y - 10z &= 0
\end{align*}
\]

Решая эту систему уравнений, найдем значения \(y\), \(z\) и, соответственно, количество монет у каждого гнома.

Вычитаем второе уравнение из первого и получаем:

\[
z = 120
\]

Подставляем это значение в третье уравнение и находим:

\[
y = 10z = 10 \cdot 120 = 1200
\]

Таким образом, Фарин имел 1200 монет, Двалин и Балин - по 120 монет каждый.

Надеюсь, данное подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!