Случайно выбираются два числа из 16 первых натуральных чисел. Что являются вероятностями следующих событий: а) ни одно

Сквозь_Космос

53

а) Чтобы вычислить вероятность того, что ни одно из выбранных чисел не делится на 3, необходимо определить количество благоприятных исходов и поделить его на общее количество возможных исходов.

Общее количество возможных исходов можно вычислить, применив правило произведения: 16 первых натуральных чисел выбираются по 2, то есть имеем сочетание \(C^2_{16} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120\) возможных исходов.

Теперь рассмотрим количество благоприятных исходов. У нас 16 чисел в выборке, из которых 5 чисел (3, 6, 9, 12, 15) делятся на 3. Исключим эти 5 чисел из общего числа, то есть будем выбирать из 11 чисел. Теперь выберем по 2 числа из этих 11: \(C^2_{11} = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55\) благоприятных исходов.

Таким образом, вероятность того, что ни одно из выбранных чисел не делится на 3, равна \(\frac{55}{120}\).

б) Чтобы вычислить вероятность того, что разница между выбранными числами равна 4, также необходимо определить количество благоприятных исходов и поделить его на общее количество возможных исходов.

Общее количество возможных исходов у нас по-прежнему равно 120.

Рассмотрим количество благоприятных исходов. Если разница между числами должна быть равна 4, то возможны следующие комбинации: (1, 5), (2, 6), (3, 7), ..., (12, 16). Всего таких комбинаций 12, поскольку у нас 12 пар чисел, разница между которыми равна 4.

Таким образом, вероятность того, что разница между выбранными числами равна 4, равна \(\frac{12}{120}\).