Среди чисел, записанных на доске, есть различные числа. Для каждого из этих чисел на доске существуют 2020 других

Артём_4182

45

Чтобы решить эту задачу, давайте разложим ее на несколько шагов.

1. Предположение: Пусть на доске записано \(N\) различных чисел.

2. Для каждого числа, записанного на доске, существует 2020 других чисел, среднее арифметическое которых равно этому числу.

3. Мы можем использовать это предположение, чтобы создать уравнение, описывающее ситуацию. Допустим, у нас есть число \(x\) на доске. Тогда сумма всех других чисел, равных \(x\), равна \(2020 \cdot x\). Если у нас имеется еще \(N-1\) чисел на доске, то сумма этих чисел равна \((N-1) \cdot x\). Суммируя эти две суммы, получаем:

\[2020 \cdot x + (N-1) \cdot x\]

4. Следующий шаг - найти наименьшее количество чисел, которые могли быть записаны на доске. Для этого рассмотрим следующую ситуацию: если каждое число могло быть представлено в виде суммы двух других чисел среди этих чисел на доске, значит, каждое из чисел должно быть равно их среднему арифметическому. Таким образом, сумма всех чисел на доске должна быть равна:

\[(2020 \cdot x + (N-1) \cdot x) + x = N \cdot x\]

5. Теперь у нас есть уравнение, связывающее сумму всех чисел на доске \(N \cdot x\) и количество чисел \(N\). Наша задача - найти наименьшее значение \(N\), при котором это уравнение выполняется.

6. Для нахождения минимального значения \(N\) мы можем сделать следующее: найдем наименьшее возможное значение \(x\), затем найдем наименьшее значение \(N\), при котором \(N \cdot x\) является целым числом.

7. Наименьшее возможное значение \(x\) равно 1. Для этого значения нам нужно найти такое значение \(N\), при котором \(N\) делится на \(2020 \cdot x + (N-1) \cdot x\).

8. Решим это уравнение. Получим:

\[2020 + (N-1) = N\]

\[2019 = N\]

9. Таким образом, наименьшее количество чисел, которые могли быть записаны на доске, равно 2019.

Ответ: наименьшее количество чисел, могущих быть записано на доске, равно 2019.