У одного учащегося имеется 11 книг по математике, тогда как у другого - 15. Возможными комбинациями, которые они могут

Сэр

13

Чтобы решить данную задачу, нужно найти количество возможных комбинаций, которые два учащихся могут выбрать, если каждый из них должен выбрать по 3 книги для обмена. Давайте решим задачу пошагово.

Первым шагом определим количество возможных комбинаций книг, которые каждый ученик может выбрать. У первого ученика есть 11 книг, и он должен выбрать 3 книги для обмена. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний из комбинаторики. Формула сочетаний для выбора k элементов из n элементов без учета порядка имеет вид:

\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где n! означает факториал числа n, равный произведению всех чисел от 1 до n.

Для нашей задачи, мы можем использовать формулу сочетаний \({11 \choose 3}\), чтобы найти количество возможных комбинаций для первого ученика. Вычислим:

\[{11 \choose 3} = \frac{{11!}}{{3! \cdot (11-3)!}} = \frac{{11!}}{{3! \cdot 8!}}\]

Вычислим значения факториалов, используя определение факториала:

\(11! = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800\)

\(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)

\(8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320\)

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

\[{11 \choose 3} = \frac{{39916800}}{{6 \cdot 40320}} = \frac{{39916800}}{{241920}} = 165\]

Таким образом, у первого ученика есть 165 возможных комбинаций для выбора 3 книг для обмена.

Аналогично, у второго ученика есть 15 книг, и он должен выбрать 3 книги для обмена. Мы можем использовать формулу сочетаний \({15 \choose 3}\), чтобы найти количество возможных комбинаций для второго ученика. Повторим вычисления:

\[{15 \choose 3} = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15-3)!}} = \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}}\]

\(\ldots\)

\[{15 \choose 3} = \frac{{1307674368000}}{{6 \cdot 479001600}} = \frac{{1307674368000}}{{287001600}} = 455\]

Таким образом, у второго ученика есть 455 возможных комбинаций для выбора 3 книг для обмена.

Наконец, чтобы определить общее количество возможных комбинаций для обоих учеников, нужно умножить количество комбинаций первого ученика на количество комбинаций второго ученика. Выполним вычисление:

\(165 \cdot 455 = 75075\)

Таким образом, общее количество возможных комбинаций книг для обмена составляет 75075.

Надеюсь, полученное пошаговое решение поможет вам понять, каким образом было получено итоговое число. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.