У трапеции АВСD, у которой боковая сторона равна меньшему основанию и угол при основании равен 60°, нужно найти длину

Magicheskiy_Kot

67

Чтобы найти длину средней линии трапеции, нам необходимо знать длины обеих оснований. Давайте обозначим меньшее основание трапеции как \(a\).

Дано, что угол при основании равен 60°. Найдем величину угла при вершине трапеции. Угол при вершине трапеции равен сумме углов при основании, то есть 180°. Таким образом, угол при вершине трапеции равен \(180° - 60° = 120°\).

Заметим, что трапеция АВСD является равнобедренной трапецией, так как у нее боковая сторона равна меньшему основанию.

В равнобедренной трапеции линия, соединяющая середины боковых сторон, называется средней линией и она параллельна основаниям. Длина средней линии равна полусумме длин оснований.

Итак, чтобы найти длину средней линии трапеции, необходимо найти значение большего основания. Обозначим его как \(b\).

Так как трапеция АВСD является равнобедренной, угол при вершине равен 120°. Раз у нас есть угол при вершине и одно из оснований, мы можем использовать тригонометрию для нахождения второго основания.

Разделим трапецию на два треугольника: АВD и СВD. Так как трапеция является равнобедренной, мы можем сказать, что угол ADC (угол при вершине треугольника АВD) равен 120°.

Мы знаем, что угол ADC равен углу между основанием и боковой стороной треугольника АВD. Угол между основанием и боковой стороной равен 180° минус угол при вершине треугольника АВD. Значит, угол между основанием и боковой стороной будет равен \(180° - 120° = 60°\).

Теперь у нас есть треугольник АВD с известным углом между основанием и боковой стороной (60°) и известной длиной боковой стороны (которая равна меньшему основанию \(a\)). Чтобы найти значение большего основания \(b\), мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса.

Тангенс угла между основанием и боковой стороной равен отношению противолежащего катета (меньшее основание \(a\)) к прилежащему катету (боковая сторона).

Итак, \(\tan(60°) = \frac{a}{b}\).

\[\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{b}\]

Мы можем переписать это уравнение в виде \(\sqrt{3}b = 3a\).

Теперь, чтобы найти значение большего основания \(b\), мы должны знать значение меньшего основания \(a\).

Кроме того, по условию задачи известно, что боковая сторона равна меньшему основанию. Поэтому, длины боковой стороны и меньшего основания равны: \(a = AD\) и \(AD = BC\).

Таким образом, значение меньшего основания \(a\) равно длине боковой стороны и длине большего основания \(b\).

Ответ: Значение меньшего основания равно \(a\).