Угол поворота шара за время 4 секунды после начала движения, если шар радиусом r = 50 см вращается согласно уравнению

Lisichka123

70

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти значение угла поворота шара за время 4 секунды после начала движения.

У нас есть уравнение для скорости вращения шара \(\omega(t) = -5t + \ln(t)\), где \(t\) - время в секундах, а \(\omega(t)\) - скорость вращения в радианах в секунду.

Для того чтобы найти угол поворота, мы должны проинтегрировать скорость вращения по времени, чтобы получить функцию угла поворота.

Интегрируя \(\omega(t)\) по времени от 0 до 4 секунды, мы получаем:

\[\int_0^4 (-5t + \ln(t)) dt\]

Давайте посчитаем этот интеграл.

\[\int_0^4 -5t dt + \int_0^4 \ln(t) dt\]

Чтобы интегрировать первый член, мы используем правило интегрирования монома:

\[\left[ \frac{{-5t^2}}{2} \right]_0^4 + \int_0^4 \ln(t) dt\]

Вычисляя первое слагаемое:

\[\frac{{-5(4)^2}}{2} - \frac{{-5(0)^2}}{2} + \int_0^4 \ln(t) dt\]

\[-40 + 0 + \int_0^4 \ln(t) dt\]

Теперь проинтегрируем \(\ln(t)\). Для этого мы используем правило интегрирования натурального логарифма:

\[\left[ t \ln(t) - t \right]_0^4\]

Вычисляя второе слагаемое:

\[4 \ln(4) - 4 - (0 \ln(0) - 0)\]

\[\approx 4 \times 1.386 - 4\]

\[\approx 5.544 - 4\]

\[\approx 1.544\]

Таким образом, угол поворота шара за время 4 секунды будет приблизительно равен 1.544 радианам.

Ни один из предложенных вариантов в ответах не соответствует этому значению. Возможно, вам были предоставлены неправильными вариантами ответов. Вы можете сообщить об этом учителю или проверяющему.