Укажите пары прямых и плоскостей, перпендикулярных кубу ABCDA1B1C1D1. Выберите один или несколько верных вариантов

Roza_1726

42

Чтобы найти пары прямых и плоскостей, перпендикулярных кубу ABCDA1B1C1D1, мы должны использовать свойство перпендикулярности, которое гласит, что две линии или плоскости перпендикулярны, если их направляющие векторы (или нормали, в случае плоскости) являются перпендикулярными.

Направляющие векторы прямых A1B1, A1C1 и A1D1 можно определить как векторы, направленные от начала одного отрезка к концу другого:

\[\overrightarrow{A1B1} = \overrightarrow{A1B}\]
\[\overrightarrow{A1C1} = \overrightarrow{A1C}\]
\[\overrightarrow{A1D1} = \overrightarrow{A1D}\]

Направляющий вектор плоскости (C1CB) можно определить, найдя векторное произведение между векторами C1C и C1B:

\[\overrightarrow{C1CB} = \overrightarrow{C1C} \times \overrightarrow{C1B}\]

Аналогично, направляющий вектор плоскости (B1C1B) можно определить как векторное произведение между векторами B1C1 и B1B:

\[\overrightarrow{B1C1B} = \overrightarrow{B1C1} \times \overrightarrow{B1B}\]

Направляющий вектор плоскости (ADD1) можно определить таким же образом, найдя векторное произведение между векторами AD и DD1:

\[\overrightarrow{ADD1} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{DD1}\]

Наконец, направляющий вектор плоскости (D1DC1) можно определить как векторное произведение между векторами D1D и D1C1:

\[\overrightarrow{D1DC1} = \overrightarrow{D1D} \times \overrightarrow{D1C1}\]

Теперь нам нужно проверить, являются ли направляющие векторы перпендикулярными друг другу. Для этого мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения: если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они перпендикулярны.

1) Проверим перпендикулярность прямой A1B1 и плоскости (C1CB):
\[\overrightarrow{A1B1} \cdot \overrightarrow{C1CB} = \overrightarrow{A1B} \cdot (\overrightarrow{C1C} \times \overrightarrow{C1B})\]

Если получившийся результат равен нулю, то прямая A1B1 и плоскость (C1CB) перпендикулярны.

2) Проверим перпендикулярность прямой A1C1 и плоскости (B1C1B):
\[\overrightarrow{A1C1} \cdot \overrightarrow{B1C1B} = \overrightarrow{A1C} \cdot (\overrightarrow{B1C1} \times \overrightarrow{B1B})\]

3) Проверим перпендикулярность прямой A1D1 и плоскости (ADD1):
\[\overrightarrow{A1D1} \cdot \overrightarrow{ADD1} = \overrightarrow{A1D} \cdot (\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{DD1})\]

4) Проверим перпендикулярность прямой BC и плоскости (D1DC1):
\[\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{D1DC1} = \overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{D1D} \times \overrightarrow{D1C1})\]

5) Проверим перпендикулярность прямой DD1 и плоскости (ABC):
\[\overrightarrow{DD1} \cdot \overrightarrow{ABC} = \overrightarrow{DD1} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})\]

После проведения всех необходимых вычислений, можно сравнить получившиеся результаты с нулевым значением. Если скалярное произведение равно нулю, то прямая и плоскость перпендикулярны. Если не равно нулю, то они не перпендикулярны. Ответом на задачу будет список пар, состоящий из номеров верных вариантов.