Уравнение окружности x2+y2=36. Уравнение прямой x=a. Какие значения a дают следующие результаты? 1. Прямая имеет ровно

Barbos

16

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти значения параметра "a", при которых прямая \(x = a\) имеет определенное количество общих точек с окружностью \(x^2 + y^2 = 36\). Давайте разберем каждый случай по отдельности.

1. Прямая имеет ровно одну общую точку с окружностью:
Если прямая \(x = a\) имеет только одну общую точку с окружностью \(x^2 + y^2 = 36\), то это означает, что прямая касается окружности в одной точке.

Для того чтобы найти значение параметра "a" при данном условии, нужно подставить уравнение прямой в уравнение окружности и найти точку касания. Подставляя \(x = a\) в уравнение окружности, получаем:

\(a^2 + y^2 = 36\)

Так как прямая касается окружности в одной точке, то общая точка лежит на прямой \(x = a\) и удовлетворяет уравнению окружности.

Теперь найдем координаты этой точки. Подставим \(x = a\) в уравнение окружности:

\(a^2 + y^2 = 36\)

Выразим \(y^2\):

\(y^2 = 36 - a^2\)

Отсюда получаем два возможных значений \(y\):

\(y = \sqrt{36 - a^2}\) и \(y = -\sqrt{36 - a^2}\)

Итак, чтобы прямая имела ровно одну общую точку с окружностью, значения параметра "a" должны удовлетворять следующим условиям:

\[
\begin{align*}
a = a \\
y = \sqrt{36 - a^2} \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{36 - a^2}
\end{align*}
\]

2. Прямая имеет ровно две общие точки с окружностью:
Если прямая \(x = a\) имеет ровно две общие точки с окружностью \(x^2 + y^2 = 36\), то это означает, что прямая пересекает окружность в двух различных точках.

Для того чтобы найти значение параметра "a" при данном условии, снова подставим уравнение прямой в уравнение окружности и найдем точки пересечения. Подставляя \(x = a\) в уравнение окружности, получаем:

\(a^2 + y^2 = 36\)

Так как прямая пересекает окружность в двух точках, общие точки лежат на прямой \(x = a\) и удовлетворяют уравнению окружности.

Теперь найдем координаты этих точек. Подставим \(x = a\) в уравнение окружности:

\(a^2 + y^2 = 36\)

Выразим \(y^2\):

\(y^2 = 36 - a^2\)

Отсюда получаем два значения \(y\):

\(y = \sqrt{36 - a^2}\) и \(y = -\sqrt{36 - a^2}\)

Итак, чтобы прямая имела ровно две общие точки с окружностью, значения параметра "a" должны удовлетворять следующим условиям:

\[
\begin{align*}
a = a \\
y = \sqrt{36 - a^2} \quad \text{и} \quad y = -\sqrt{36 - a^2}
\end{align*}
\]

3. Прямая не имеет общих точек с окружностью:
Если прямая \(x = a\) не имеет ни одной общей точки с окружностью \(x^2 + y^2 = 36\), то это означает, что они не пересекаются.

Для того чтобы прямая не имела общих точек с окружностью, прямая должна находиться полностью вне окружности. Это происходит, когда расстояние между центром окружности и прямой больше радиуса окружности.

Центр окружности находится в точке \((0, 0)\), а радиус окружности равен \(\sqrt{36} = 6\). Таким образом, расстояние от точки до прямой равно \(|a - 0| = |a| = a\).

Чтобы прямая не имела общих точек с окружностью, расстояние \(a\) должно быть больше радиуса окружности. Поэтому, чтобы прямая не имела общих точек с окружностью, параметр "a" должен удовлетворять условию:

\(a > 6\)

Итак, значения параметра "a", которые дают данные результаты, можно записать следующим образом:

1. Прямая имеет ровно одну общую точку с окружностью: \(a = a\) и \(y = \sqrt{36 - a^2}\) или \(y = -\sqrt{36 - a^2}\)

2. Прямая имеет ровно две общие точки с окружностью: \(a = a\) и \(y = \sqrt{36 - a^2}\) и \(y = -\sqrt{36 - a^2}\)

3. Прямая не имеет общих точек с окружностью: \(a > 6\)