В 5 «А» классе изучает 20 учеников. В расписании есть 6 предметов, по которым все получили только двойки и тройки

Полярная

16

Чтобы решить данную задачу, нам нужно рассмотреть количество комбинаций оценок учеников.

В данном случае каждый ученик имеет только две возможные оценки - "двойка" или "тройка". Из условия задачи нам известно, что все ученики получили только эти оценки.

Количество способов распределить эти оценки между учениками определяется комбинаторным понятием "размещение". Обозначим число учеников, получивших "двойку", как \(d\), а число учеников, получивших "тройку", как \(t\).

Таким образом, задача сводится к подсчету количества различных комбинаций таких двух чисел \(d\) и \(t\), при условии, что \(d + t = 20\) (так как всего 20 учеников).

Но перед этим нужно обратить внимание на то, что у нас 6 предметов, и каждый из учеников может получить двойки или тройки по каждому из этих предметов.

Теперь посмотрим, каким образом можно решить данную задачу.

Представим себе, что ученики стоят в линию в порядке убывания результатов. То есть первый ученик - самый умный, последний - самый слабый.

У нас есть следующие случаи:
1. Если ученик, стоящий на первом месте, получил "тройку", то его нельзя сравнивать ни с кем, так как он уже занимает самое высокое место в классе.
2. Если ученик, стоящий на первом месте, получил "двойку", то существует 19 учеников, с которыми можно его сравнивать (остальные 19 стоят за ним), и получить ровно одно сравнение, где он окажется лучше другого ученика.
3. Если ученик, стоящий на первом месте, получил "двойку", но ситуация сравнения в пункте 2 уже произошла (то есть он оказался лучше другого ученика), то его нельзя сравнивать еще с кем-либо, так как он уже занимает самое высокое место среди всех своих сравнений.
4. Если ученик, стоящий на первом месте, получил "двойку", но еще не сравнивался, то с ним можно сравнить оставшихся \(20 - (1 + 1) = 18\) учеников. Из них надо выбрать двоих, чтобы сравнить первого ученика со вторым, и получить ровно одно сравнение, где первый окажется лучше второго.
5. Если ученик, стоящий на первом месте, получил "тройку", но еще не сравнивался, то с ним можно сравниваться со всеми оставшимися \(20 - 1 = 19\) учениками. В этом случае нужное нам сравнение уже произойдет, так как первый ученик имеет не худшую оценку по всем предметам, а следующий ученик получит по меньшей мере одну лучшую оценку (тройку в данном случае).

Таким образом, условие задачи будет выполняться, если один из следующих случаев имеет место быть:
- В классе есть ученик, получивший "тройку", и он единственный.
- В классе есть ученик, получивший "двойку", и среди оставшихся учеников есть пара, где первый ученик не сравнивался (и он тоже получил "двойку") и последующий ученик получил по меньшей мере одну лучшую оценку.

То есть, если выполняется первое условие, то шансы равны 100%. Если выполняется второе условие, то шансы также равны 100%.

Итак, вероятность того, что найдутся двое учеников, один из которых учится лучше другого, составляет 100%.