В каком году следует заменить пастеризатор на более мощный, чтобы обеспечить пастеризацию всего произведенного объема

Витальевна

22

Наша задача состоит в определении года, когда следует заменить пастеризатор на более мощный, чтобы обеспечить пастеризацию всего произведенного объема при росте производственного объема на 9% ежегодно.

Для решения этой задачи, нам понадобится вычислить производственный объем каждого года и определить, когда текущий пастеризатор будет работать на 100% своей мощности.

Итак, давайте разберемся пошагово:

1. Введем обозначения:
- $P_0$ - производственный объем текущего года (2016 год)
- $P_1$ - производственный объем следующего года (2017 год)
- $P_n$ - производственный объем через $n$ лет
- $M$ - мощность текущего пастеризатора
- $M_n$ - требуемая мощность пастеризатора через $n$ лет

2. Составим уравнение для определения требуемой мощности пастеризатора через $n$ лет:
$$M_n=\frac{P_n}{P_0}\cdot M$$
Мы знаем, что текущая мощность пастеризатора используется только на 65% в 2016 году, поэтому $P_0$ будет равно 65% от полного производственного объема в 2016 году, т.е. $P_0=0.65\cdot P$, где $P$ - полный производственный объем в 2016 году.

3. Найдем производственный объем через $n$ лет:
$$P_n=P_0\cdot (1+0.09{)}^n$$
Поскольку производственный объем растет на 9% ежегодно, мы умножаем на коэффициент $1+0.09$, а затем возведем его в степень $n$, где $n$ - количество лет.

4. Подставим полученные значения в уравнение для $M_n$:
$$M_n=\frac{P_n}{P_0}\cdot M$$
$$M_n=\frac{P_0\cdot (1+0.09{)}^n}{P_0}\cdot M$$

5. Сокращаем $P_0$ в числителе и знаменателе:
$$M_n=(1+0.09{)}^n\cdot M$$

Теперь у нас есть уравнение для определения требуемой мощности пастеризатора через $n$ лет. Давайте решим его:

Мы должны найти значение $n$, чтобы $M_n$ было равно или больше, чем полная мощность пастеризатора ($M$).

1. Для 2017 года ($n=1$):
$$M_1=(1+0.09{)}^1\cdot M$$

2. Для 2018 года ($n=2$):
$$M_2=(1+0.09{)}^2\cdot M$$

3. Для 2019 года ($n=3$):
$$M_3=(1+0.09{)}^3\cdot M$$

4. Для 2020 года ($n=4$):
$$M_4=(1+0.09{)}^4\cdot M$$

5. Для 2021 года ($n=5$):
$$M_5=(1+0.09{)}^5\cdot M$$

Когда найдем $M_n$ для каждого года, мы сможем сравнить его с полной мощностью пастеризатора $M$. Так как для нас важно, чтобы пастеризатор обеспечивал пастеризацию всего произведенного объема, нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $M_n$ будет больше или равно $M$.

После вычислений, мы видим, что:

- $M_1$ = 1.09M
- $M_2$ = 1.1881M
- $M_3$ = 1.295029M
- $M_4$ = 1.42135561M
- $M_5$ = 1.5686224319M

Из этих результатов видно, что единственное значение $n$, при котором $M_n$ будет больше или равно $M$, это $n=1$ (2017 год).

Таким образом, правильный ответ на задачу будет: (A) 2017. В 2017 году следует заменить пастеризатор на более мощный, чтобы обеспечить пастеризацию всего произведенного объема при росте производственного объема на 9% ежегодно.