В каком году следует заменить пастеризатор на более мощный, чтобы обеспечить пастеризацию всего произведенного объема

Витальевна

22

Наша задача состоит в определении года, когда следует заменить пастеризатор на более мощный, чтобы обеспечить пастеризацию всего произведенного объема при росте производственного объема на 9% ежегодно.

Для решения этой задачи, нам понадобится вычислить производственный объем каждого года и определить, когда текущий пастеризатор будет работать на 100% своей мощности.

Итак, давайте разберемся пошагово:

1. Введем обозначения:
- \(P_0\) - производственный объем текущего года (2016 год)
- \(P_1\) - производственный объем следующего года (2017 год)
- \(P_n\) - производственный объем через \(n\) лет
- \(M\) - мощность текущего пастеризатора
- \(M_n\) - требуемая мощность пастеризатора через \(n\) лет

2. Составим уравнение для определения требуемой мощности пастеризатора через \(n\) лет:
\[M_n = \frac{{P_n}}{{P_0}} \cdot M\]
Мы знаем, что текущая мощность пастеризатора используется только на 65% в 2016 году, поэтому \(P_0\) будет равно 65% от полного производственного объема в 2016 году, т.е. \(P_0 = 0.65 \cdot P\), где \(P\) - полный производственный объем в 2016 году.

3. Найдем производственный объем через \(n\) лет:
\[P_n = P_0 \cdot (1 + 0.09)^n\]
Поскольку производственный объем растет на 9% ежегодно, мы умножаем на коэффициент \(1 + 0.09\), а затем возведем его в степень \(n\), где \(n\) - количество лет.

4. Подставим полученные значения в уравнение для \(M_n\):
\[M_n = \frac{{P_n}}{{P_0}} \cdot M\]
\[M_n = \frac{{P_0 \cdot (1 + 0.09)^n}}{{P_0}} \cdot M\]

5. Сокращаем \(P_0\) в числителе и знаменателе:
\[M_n = (1 + 0.09)^n \cdot M\]

Теперь у нас есть уравнение для определения требуемой мощности пастеризатора через \(n\) лет. Давайте решим его:

Мы должны найти значение \(n\), чтобы \(M_n\) было равно или больше, чем полная мощность пастеризатора (\(M\)).

1. Для 2017 года (\(n = 1\)):
\[M_1 = (1 + 0.09)^1 \cdot M\]

2. Для 2018 года (\(n = 2\)):
\[M_2 = (1 + 0.09)^2 \cdot M\]

3. Для 2019 года (\(n = 3\)):
\[M_3 = (1 + 0.09)^3 \cdot M\]

4. Для 2020 года (\(n = 4\)):
\[M_4 = (1 + 0.09)^4 \cdot M\]

5. Для 2021 года (\(n = 5\)):
\[M_5 = (1 + 0.09)^5 \cdot M\]

Когда найдем \(M_n\) для каждого года, мы сможем сравнить его с полной мощностью пастеризатора \(M\). Так как для нас важно, чтобы пастеризатор обеспечивал пастеризацию всего произведенного объема, нам нужно найти наименьшее значение \(n\), при котором \(M_n\) будет больше или равно \(M\).

После вычислений, мы видим, что:

- \(M_1\) = 1.09M
- \(M_2\) = 1.1881M
- \(M_3\) = 1.295029M
- \(M_4\) = 1.42135561M
- \(M_5\) = 1.5686224319M

Из этих результатов видно, что единственное значение \(n\), при котором \(M_n\) будет больше или равно \(M\), это \(n = 1\) (2017 год).

Таким образом, правильный ответ на задачу будет: (A) 2017. В 2017 году следует заменить пастеризатор на более мощный, чтобы обеспечить пастеризацию всего произведенного объема при росте производственного объема на 9% ежегодно.