В каком отношении находятся объемы двух шаров, если их радиусы относятся как 3:5?

Тарас

10

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема шара. Объем шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \), где \( V \) - объем, \( \pi \) - число Пи (примерное значение 3.14) и \( r \) - радиус.

Дано, что отношение радиусов двух шаров составляет 3:5. Обозначим радиусы этих шаров как \( r_1 \) и \( r_2 \) соответственно.

По условию задачи, мы знаем, что \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5}\). Чтобы найти отношение объемов, нам нужно найти отношение объемов шаров с радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \).

Для первого шара с радиусом \( r_1 \) его объем можно выразить как \( V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 \).

Аналогично, для второго шара с радиусом \( r_2 \) достаточно заменить \( r_1 \) на \( r_2 \) в формуле объема, и мы получим \( V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 \).

Теперь, чтобы найти отношение объемов шаров, мы можем поделить \( V_1 \) на \( V_2 \):

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3}
\]

Здесь числа Пи сокращаются, и у нас остается следующее:

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}
\]

Так как у нас уже дано отношение радиусов \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5} \), мы можем возвести обе части этого соотношения в куб и получить:

\[
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^3
\]

Упрощая, мы получаем:

\[
\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{27}{125}
\]

Таким образом, отношение объемов двух шаров равно \(\frac{27}{125}\).

Ответ: Отношение объемов двух шаров составляет \(\frac{27}{125}\).