В каком пропорции плоскость, параллельная основанию, делит объем пирамиды, если она делит высоту в пропорции

Сверкающий_Джентльмен

32

Для решения данной задачи нам необходимо использовать основные свойства подобных треугольников и объема пирамиды.

Пусть у нас есть пирамида с основанием, параллельным плоскости разделения, и высотой \(h\). Плоскость делит высоту на две части с соотношением \(k : (1-k)\), где \(k\) - доля высоты пирамиды, которая оказалась ниже плоскости, а \((1-k)\) - доля высоты пирамиды, которая оказалась выше плоскости.

Так как плоскость параллельна основанию пирамиды, то треугольники, образованные этой плоскостью и боковыми гранями пирамиды, будут подобны треугольникам, образованным основанием пирамиды и боковыми гранями пирамиды (по свойству параллельных прямых). Таким образом, соотношение площадей срезов пирамиды будет таким же, как соотношение высот срезов.

Площадь среза пирамиды, который находится ниже плоскости, можно найти, используя формулу площади треугольника: \(S_{\text{ниже}} = \frac{1}{2}bh\), где \(b\) - длина основания пирамиды (площади основания), а \(h\) - высота среза, равная \(kh\).

Площадь среза пирамиды, который находится выше плоскости, можно найти, используя то же самое выражение: \(S_{\text{выше}} = \frac{1}{2}bh\), где \(b\) - длина основания пирамиды (площади основания), а \(h\) - высота среза, равная \((1-k)h\).

Теперь мы можем найти площади срезов пирамиды, а затем использовать их для определения соотношения объемов.

Объем пирамиды можно вычислить, используя формулу: \(V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды можно выразить через площадь среза, используя соотношение \(S_{\text{осн}} = \frac{S_{\text{ниже}}}{k} = \frac{S_{\text{выше}}}{1-k}\).

Теперь мы готовы найти соотношение объемов двух частей пирамиды. Для этого нам нужно выразить объемы через площади основания и высоту пирамиды.

Для части пирамиды, которая находится ниже плоскости, объем будет равен: \(V_{\text{ниже}} = \frac{1}{3}S_{\text{ниже}}h\) (мы уже знаем, что \(S_{\text{ниже}} = \frac{1}{2}bh\) и \(h = kh\)).

Аналогичным образом, для части пирамиды, которая находится выше плоскости, объем будет равен: \(V_{\text{выше}} = \frac{1}{3}S_{\text{выше}}h\) (мы уже знаем, что \(S_{\text{выше}} = \frac{1}{2}bh\) и \(h = (1-k)h\)).

Теперь можно записать соотношение объемов пирамиды: \(\frac{V_{\text{ниже}}}{V_{\text{выше}}} = \frac{\frac{1}{3}S_{\text{ниже}}h}{\frac{1}{3}S_{\text{выше}}h}\).

Подставив значения \(S_{\text{ниже}} = \frac{1}{2}bh\), \(S_{\text{выше}} = \frac{1}{2}bh\), \(h = kh\) и \(h = (1-k)h\), получаем: \(\frac{V_{\text{ниже}}}{V_{\text{выше}}} = \frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}bh \cdot kh}{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}bh \cdot (1-k)h}\).

Упрощая выражение, получаем: \(\frac{V_{\text{ниже}}}{V_{\text{выше}}} = \frac{k}{1-k}\).

Итак, объемы частей пирамиды делятся в данной пропорции \(k : (1-k)\). Теперь вы знаете, как определить эту пропорцию при заданном делении высоты пирамиды плоскостью параллельной основанию.