В кастрюлю, которая имеет комнатную температуру, было налито некоторое количество воды, также имеющей комнатную

Solnechnyy_Kalligraf

40

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим массу воды, налитой изначально в кастрюлю в первом случае, через \(m_1\), а массу воды, налитой во втором случае, через \(m_2\). Также обозначим теплоемкость кастрюли через \(C_п\) и теплоемкость воды через \(C_в\).

Первый случай: вода смогла закипеть за 2 минуты. В этом случае, вся выделяемая плиткой теплота расходуется на нагревание кастрюли и воды.

Запишем уравнение для выделяемой теплоты в этом случае:

\[
Q_1 = (m_1C_п + m_1C_в) \Delta T_1
\]

где \(Q_1\) - выделяемая теплота, \(\Delta T_1\) - изменение температуры (от комнатной температуры до кипения).

Второй случай: вода смогла закипеть за 3 минуты, при условии, что в кастрюлю было налито вдвое больше воды, чем в первом случае.

Запишем уравнение для выделяемой теплоты во втором случае:

\[
Q_2 = \left(m_2C_п + \frac{m_2}{2}C_в\right) \Delta T_2
\]

где \(Q_2\) - выделяемая теплота, \(\Delta T_2\) - изменение температуры (от комнатной температуры до кипения).

Из условия задачи, мы знаем, что время нагревания во втором случае равно 3 минутам, в то время как в первом случае оно равно 2 минутам. Обозначим изменение температуры в первом случае как \(\Delta T_1\) и во втором случае как \(\Delta T_2\).

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[
Q_1 = (m_1C_п + m_1C_в) \Delta T_1
\]
\[
Q_2 = \left(m_2C_п + \frac{m_2}{2}C_в\right) \Delta T_2
\]

Так как в обоих случаях мы имеем дело с одной и той же кастрюлей и водой, то выделяемая теплота должна быть одинакова:

\[
Q_1 = Q_2
\]

Подставим выражения для \(Q_1\) и \(Q_2\) в уравнение для равенства теплоты:

\[
(m_1C_п + m_1C_в) \Delta T_1 = \left(m_2C_п + \frac{m_2}{2}C_в\right) \Delta T_2
\]

Разделим обе части уравнения на \(\Delta T_1\Delta T_2\) и перегруппируем:

\[
\frac{m_1C_п + m_1C_в}{\Delta T_1} = \frac{m_2C_п + \frac{m_2}{2}C_в}{\Delta T_2}
\]

Из условия задачи, мы знаем, что \(\Delta T_2 = \frac{3 \text{ минуты}}{2 \text{ минуты}}\Delta T_1 = \frac{3}{2}\Delta T_1\).

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[
\frac{m_1C_п + m_1C_в}{\Delta T_1} = \frac{m_2C_п + \frac{m_2}{2}C_в}{\frac{3}{2}\Delta T_1}
\]

Сократим \(\Delta T_1\) с обеих сторон уравнения:

\[
m_1C_п + m_1C_в = \frac{m_2C_п + \frac{m_2}{2}C_в}{\frac{3}{2}}
\]

Упростим выражение, умножив обе стороны на \(\frac{2}{3}\):

\[
\frac{2}{3}m_1C_п + \frac{2}{3}m_1C_в = m_2C_п + \frac{m_2}{3}C_в
\]

Теперь давайте рассмотрим отношение теплоемкостей \(C_п\) и \(C_в\):

\[
\frac{\frac{2}{3}m_1C_п + \frac{2}{3}m_1C_в}{m_2C_п + \frac{m_2}{3}C_в} = 1
\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\frac{3}{m_1}\) и сократим с помощью общих множителей:

\[
\frac{2}{3}\frac{C_п}{C_в} + \frac{2}{3} = \frac{C_п}{C_в} + \frac{1}{3}
\]

Выразим \(\frac{C_п}{C_в}\):

\[
\frac{2}{3}\frac{C_п}{C_в} - \frac{C_п}{C_в} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}
\]

Сократим общий множитель на обоих сторонах:

\[
\frac{-1}{3}\frac{C_п}{C_в} = \frac{-1}{3}
\]

Умножим обе стороны на \(-1\) и обратим дробь:

\[
\frac{C_в}{C_п} = 1
\]

Таким образом, соотношение между теплоемкостью кастрюли и теплоемкостью воды в первом случае равно 1.

Округляя ответ, получаем, что \(\frac{C_в}{C_п} = 1\)