В прямоугольном треугольнике, у которого один из углов составляет 45° и гипотенуза равна 12 см, найти высоту

Мистический_Жрец

66

Дано: У прямоугольного треугольника угол A равен 45° и гипотенуза \(c\) равна 12 см.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла до гипотенузы, является перпендикуляром к гипотенузе и разделяет треугольник на два подобных треугольника.

Давайте найдем длину высоты \(h\). Мы можем использовать подобие треугольников и теорему Пифагора для этого.

1. Из подобия треугольников, мы можем сказать, что соотношение сторон треугольников равно:

\[\frac{a}{c} = \frac{h}{a}\]

где \(a\) - катет и \(c\) - гипотенуза треугольника.

2. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, мы знаем, что

\[a^2 + a^2 = c^2\]

3. Подставим \(c = 12\) в эту формулу и решим уравнение относительно \(a\):

\[2a^2 = 12^2\]

\[2a^2 = 144\]

\[a^2 = \frac{144}{2}\]

\[a^2 = 72\]

\[a = \sqrt{72}\]

4. Теперь используем найденное значение \(a\) для вычисления длины высоты \(h\). Подставим значения \(a\) и \(c\) в соотношение сторон:

\[\frac{a}{c} = \fraс{h}{a}\]

\[\frac{\sqrt{72}}{12} = \frac{h}{\sqrt{72}}\]

Упростим это:

\[\frac{\sqrt{72}}{12}=\frac{h}{\sqrt{72}}\]

\[\frac{\sqrt{72}}{12} = \frac{h}{\sqrt{72}}\]

\[(\sqrt{72})^2 = h \cdot 12\]

\[72 = h \cdot 12\]

5. Решим это уравнение относительно \(h\):

\[h = \frac{72}{12}\]

\[h = 6\]

Ответ: Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла до гипотенузы, равна 6 см.