В ромбе АВСD, на продолжении диагонали АС, мы отмечаем точки Т и К таким образом, что отрезок АТ равен отрезку

Zagadochnyy_Sokrovische_946

47

Для доказательства того, что ВКDТ является параллелограммом, мы воспользуемся свойствами ромба АВСD и информацией о точках Т и К.

Доказательство:

1. Построим ромб АВСD:

\[
\begin{array}{cccc}
& & B & \\
& \nearrow & & \nwarrow \\
A & & & D \\
& \nwarrow & & \nearrow \\
& & C &
\end{array}
\]

2. Проведем диагонали АС и ВD:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & B & & & C & \\
& \nearrow & & \nwarrow & & \nearrow \\
A & & & D & & & \\
& \nwarrow & & \nearrow & & \nwarrow \\
& & C & & & B &
\end{array}
\]

3. По условию задачи, отметим точки Т и К на продолжении диагонали АС таким образом, что отрезок АТ равен отрезку СК. Обозначим точку пересечения диагоналей ромба АВСD как О:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & B & & & C & & T \\
& \nearrow & & \nwarrow & & \nearrow & \searrow & \\
A & & & D & & & O & \\
& \nwarrow & & \nearrow & & \nwarrow & \swarrow & \\
& & C & & & B & & K &
\end{array}
\]

4. Рассмотрим треугольники АОТ и СОК:

- ОТ = ОК (по условию), АО = СО (диагонали ромба равны по свойству ромба), поэтому треугольники АОТ и СОК являются равнобедренными.

5. Из равнобедренности треугольников следует, что углы АОТ и ОСК равны между собой (по свойству равнобедренного треугольника).

6. Также, углы ОТА и ОКС являются вертикальными (они противоположны друг другу при пересечении двух прямых). Это значит, что углы ОТА и ОКС тоже равны.

7. Отсюда мы получаем, что треугольник ОКС равен по углам и сторонам треугольнику ОТА. Но треугольник ОТА также равен треугольнику АДТ вследствие равенства сторон отрезков АТ и ОТ.

Следовательно, треугольник ОКС равен треугольнику ВСК, что означает, что ВКDТ является параллелограммом. Угол ВКД равен углу КОС (поскольку параллелограммы имеют противоположные углы, равные друг другу), а угол ВДК равен углу СОК (также из свойств параллелограмма).

Теперь предоставлю рисунок, отображающий данную ситуацию:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & B & & & C & & T \\
& \nearrow & & \nwarrow & & \nearrow & \searrow & \\
A & & & D & & & O & \\
& \nwarrow & & \nearrow & & \nwarrow & \swarrow & \\
& & C & & & B & & K &
\end{array}
\]