В сборнике Сказки есть 50 сказок, из которых 20 - русские и 10 - татарские. Учитель случайным образом выбирает 4 сказки

Солнечный_Феникс

8

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Изначально у нас есть 50 сказок в сборнике, из которых 20 - русские сказки и 10 - татарские сказки.

а) Для нахождения вероятности не выбрать ни одну русскую и ни одну татарскую сказку, мы должны определить, сколько комбинаций существует, когда мы выбираем 4 сказки из всего оглавления.

Существует два способа решить эту задачу. Первый - посчитать число благоприятных исходов (когда мы не выбираем ни одну русскую и ни одну татарскую сказку) и разделить его на общее количество исходов. Второй способ - применить правило комбинаторики.

Давайте воспользуемся вторым способом. Общее количество исходов - это число сочетаний 4 элементов из 50, что можно записать как \(C^{4}_{50}\) или \(\binom{50}{4}\).

Используя формулу для сочетаний, получаем:

\[\binom{50}{4} = \frac{50!}{4!(50-4)!} = \frac{50!}{4!46!}\]

Теперь нужно посчитать число благоприятных исходов, когда мы не выбираем ни одну русскую и ни одну татарскую сказку. Мы можем выбрать все 4 сказки только из 20 оставшихся сказок (не русские и не татарские).

Число благоприятных исходов - это число сочетаний 4 элементов из 20. Можно записать это как \(C^{4}_{20}\) или \(\binom{20}{4}\).

Используя формулу для сочетаний снова, получаем:

\[\binom{20}{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!}\]

Теперь мы можем найти вероятность. Для этого нужно разделить число благоприятных исходов на общее количество исходов:

\[P = \frac{\binom{20}{4}}{\binom{50}{4}}\]

Вычислим это:

\[P = \frac{\frac{20!}{4!16!}}{\frac{50!}{4!46!}}\]

Сокращаем факториалы:

\[P = \frac{20! \cdot 4!46!}{4!16! \cdot 50!}\]

\[P = \frac{20! \cdot 46!}{16! \cdot 50!}\]

Мы видим, что множители \(4!\) и \(16!\) сокращаются:

\[P = \frac{20!}{50!}\]

Теперь вычислим это значение:

\[P = \frac{20!}{50!} ≈ 0.000000000002415]\]

Таким образом, вероятность не выбрать ни одну русскую и ни одну татарскую сказку составляет около 0.000000000002415.

б) Теперь давайте рассмотрим вероятность выбрать две русские сказки и одну татарскую сказку.

Количество благоприятных исходов будет равно числу сочетаний из 20 русских сказок, выбранных двумя плюс число сочетаний из 10 татарских сказок, выбранной одной. Мы умножаем эти два числа, так как эти события являются независимыми.

\[\binom{20}{2} \cdot \binom{10}{1} = \frac{20!}{2!(20-2)!} \cdot \frac{10!}{1!(10-1)!}\]

Мы можем упростить формулу:

\[\binom{20}{2} \cdot \binom{10}{1} = \frac{20!}{2!18!} \cdot \frac{10!}{1!9!}\]

Теперь мы можем найти вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее количество исходов (число сочетаний 4 сказок из оглавления):

\[P = \frac{\binom{20}{2} \cdot \binom{10}{1}}{\binom{50}{4}}\]

Вычисляем это:

\[P = \frac{\frac{20!}{2!18!} \cdot \frac{10!}{1!9!}}{\frac{50!}{4!46!}}\]

Сокращаем факториалы:

\[P = \frac{20! \cdot 4!46!}{2!18! \cdot 50!} \cdot \frac{10!}{1!9!}\]

\[P = \frac{20! \cdot 4! \cdot 46! \cdot 10!}{2! \cdot 18! \cdot 50! \cdot 1! \cdot 9!}\]

Мы видим, что множители \(4!\), \(2!\) и \(10!\) сокращаются:

\[P = \frac{20! \cdot 2! \cdot 46! \cdot 9!}{18! \cdot 50!}\]

\[P = \frac{20! \cdot 46! \cdot 9!}{18! \cdot 50!}\]

Осталось вычислить это значение:

\[P = \frac{20! \cdot 46! \cdot 9!}{18! \cdot 50!} ≈ 0.000000000001544\]

Таким образом, вероятность выбрать две русские сказки и одну татарскую сказку составляет около 0.000000000001544.