В стредине кругового витка, плоскость которого находится вертикально и образует угол j = 30° с плоскостью магнитного

Сумасшедший_Рейнджер

67

Для решения данной задачи мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет нам вычислить магнитное поле, создаваемое током в круговом витке. Формула закона БСЛ для точки, находящейся на оси витка на расстоянии x от центра витка, имеет следующий вид:

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot i \cdot r^2}}{{2 \cdot (r^2 + x^2)^{3/2}}}\]

где:
B - магнитное поле,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)),
i - сила тока,
r - радиус витка,
x - расстояние от точки до центра витка.

Найдем горизонтальную компоненту магнитного поля (Bh), создаваемую витком. Так как вектор индукции магнитного поля должен быть перпендикулярен плоскости магнитного меридиана, а стрелка находится в плоскости магнитного меридиана, то угол между проводником и стрелкой равен \(30^\circ\).

Теперь применим теорему синусов к треугольнику, образованному горизонтальной компонентой магнитного поля (Bh), силой тока (i) и горизонтальной составляющей индукции земного магнитного поля (b). Теорема синусов имеет вид:

\(\frac{{\sin α}}{{Bh}} = \frac{{\sin β}}{{b}}\),

где α - угол между Bh и i, \(β = 30^\circ\) - угол между Bh и b.

Теперь решим эту формулу относительно Bh:

\(Bh = \frac{{b \cdot \sin α}}{{\sin β}}\).

Таким образом, горизонтальная компонента магнитного поля Bh равна:

\(Bh = \frac{{20 \times 10^{-6} \, \text{Тл} \cdot \sin 30^\circ}}{{\sin 30^\circ}} = 20 \times 10^{-6} \, \text{Тл}\).

Теперь, зная горизонтальную компоненту магнитного поля (Bh) и силу тока (i), мы можем определить угол поворота магнитной стрелки, используя закон Лоренца:

\(M = B \cdot i \cdot S \cdot \sin α\),

где M - момент силы, B - магнитная индукция, i - сила тока, S - площадь петли витка, α - угол между направлением вектора B и плоскостью петли витка.

Для поворота магнитной стрелки вверх, угол α между B и плоскостью петли равен \(30^\circ\). Тогда момент силы M на магнитную стрелку пропорционален силе тока (i), площади петли витка (S) и горизонтальной компоненте магнитного поля (Bh).

Теперь вычислим момент силы M. Так как петля круговая, площадь петли S равна:

\(S = \pi \cdot r^2\).

Подставляем все известные значения:

\(M = Bh \cdot i \cdot S \cdot \sin α = 20 \times 10^{-6} \, \text{Тл} \cdot 25 \, \text{А} \cdot \pi (0.2 \, \text{м})^2 \cdot \sin 30^\circ\).

После подставления значений и вычислений получаем момент силы:

\(M = 20 \times 10^{-6} \, \text{Тл} \cdot 25 \, \text{А} \cdot \pi (0.2 \, \text{м})^2 \cdot 0.5 = 0.002 \, \text{Н} \cdot \text{м}\).

Теперь мы можем определить угол поворота магнитной стрелки при пропускании тока силой 25 А через проводник. Для этого мы используем формулу:

\(M = B \cdot i \cdot A \cdot \sin θ\),

где M - момент силы, B - магнитное поле, i - сила тока, A - момент инерции магнитной стрелки, θ - угол поворота магнитной стрелки.

Разрешим эту формулу относительно угла поворота θ:

\(\theta = \arcsin \left( \frac{{M}}{{B \cdot i \cdot A}} \right)\).

Тогда:

\(\theta = \arcsin \left( \frac{{0.002}}{{20 \times 10^{-6} \, \text{Тл}} \cdot 25 \, \text{A} \cdot A}} \right)\).

Подставим известные значения и найдем угол поворота магнитной стрелки:

\(\theta = \arcsin \left( \frac{{0.002}}{{20 \times 10^{-6} \, \text{Тл}} \cdot 25 \, \text{А} \cdot A}} \right)\).

\[ \theta = \arcsin(100) \approx 1.5708 \, \text{рад} \approx 90^\circ \].

Следовательно, магнитная стрелка повернется на угол примерно 90 градусов при пропускании тока силой 25 А через проводник.