В трапецию АВСD, где длины боковых сторон СD и AB равны 6 и 10 соответственно, была вписана окружность радиуса 3. Точка

Elf

59

Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться свойством вписанной и описанной окружностей.

Для начала, обратимся к определению трапеции. Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. В нашем случае, это стороны AB и CD.

Далее, по свойству вписанной окружности, радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне трапеции и делит ее пополам. То есть радиус вписанной окружности равен половине разности длин боковых сторон трапеции. В нашем случае это (10 - 6)/2 = 2.

Теперь обратимся к свойству описанной окружности. Радиус описанной окружности треугольника равен половине длины диагонали треугольника, проходящей через его острый угол. В нашем случае, точка М - это точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, значит М является острым углом треугольника МАВ. Тогда радиус описанной окружности равен половине длины диагонали треугольника МАВ.

Обозначим центр описанной окружности как О. Радиус описанной окружности будем обозначать как R.

Так как радиус вписанной окружности делит боковую сторону трапеции на две равные части, то сторона AM равна стороне MB. Аналогично, сторона DM равна стороне MC.

Теперь обратимся к теореме о радиусе, проведенном к стороне треугольника, который делит ее пополам. В нашем случае, радиус окружности, проведенный к стороне АВ, делит ее пополам и проходит через точку О. То есть, ОА = ОВ = R.

На данном этапе нам известны следующие длины:
АВ = 10, ОА = ОВ = R, МА = МВ = R, CD = 6 и ОD = ОС = 2.

Обратимся к теореме Пифагора для треугольника МАО:
МО^2 = МА^2 + ОА^2.
R^2 = R^2 + R^2,
R^2 = 2R^2.
R^2 = 2.

Подставим значения радиуса вписанной окружности в выражение для радиуса описанной окружности.

2 = 2R.
R = 1.

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника МАВ, равен 1.