В треугольнике ABC при AC = 7, BC = 4√2 и угле C = 45 градусов. Вычислите AB, синус угла A и синус угла

Plamennyy_Demon

27

Для начала давайте рассмотрим треугольник ABC и попытаемся вычислить сторону AB.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике, где один угол равен 45 градусов, две стороны, прилегающие к этому углу, равны. Таким образом, сторона AC и сторона BC равны друг другу.

У нас уже есть значение стороны AC, которое равно 7. Следовательно, сторона BC также равна 7.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти сторону AB. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Мы можем заметить, что стороны AC и BC играют роль катетов в нашем треугольнике, а сторона AB — гипотенузы.

Таким образом, мы можем записать уравнение по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставляя значения, которые у нас есть:

\[AB^2 = 7^2 + 7^2\]
\[AB^2 = 49 + 49\]
\[AB^2 = 98\]

Теперь, чтобы найти значение AB, нам нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[AB = \sqrt{98}\]
\[AB = \sqrt{49 \cdot 2}\]
\[AB = 7 \sqrt{2}\]

Таким образом, длина стороны AB равна \(7 \sqrt{2}\).

Теперь давайте определим синус угла A. Для этого нам понадобится применить основное определение синуса: отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Мы знаем, что противолежащая сторона угла A — это сторона BC, а гипотенуза — это сторона AB.

Теперь мы можем записать формулу для синуса угла A:

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
\[\sin A = \frac{7}{7 \sqrt{2}}\]
\[\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, синус угла A равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Для вычисления синуса угла B мы можем использовать тот факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Учитывая, что угол C равен 45 градусам, мы можем найти угол B:

\[\angle B = 180 - \angle A - \angle C\]
\[\angle B = 180 - 45 - 90\]
\[\angle B = 180 - 135\]
\[\angle B = 45\]

Таким образом, угол B также равен 45 градусам.

Синус угла B будет также равен синусу угла A, так как оба угла равны 45 градусам. То есть \(\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, мы получили следующие значения:
- Длина стороны AB: \(7 \sqrt{2}\)
- Синус угла A: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- Синус угла B: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)