В треугольнике авс, у которого ав = 12 см и угол а = 45 градусов, требуется найти длины ас и вс, а также значения угла

Белочка

35

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов и теоремой косинусов.

Давайте начнем с нахождения длины стороны АС. По теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равно для всех трех сторон и углов. В нашем случае мы знаем значение угла А (45 градусов) и длину стороны АВ (12 см). Теперь мы можем записать формулу:

\[\frac{{AB}}{{\sin B}} = \frac{{AC}}{{\sin A}}\]

где АВ - длина стороны АВ, В - угол при вершине В, АС - длина стороны АС, А - угол при вершине А.

Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{{12}}{{\sin B}} = \frac{{AC}}{{\sin 45^\circ}}\]

Используя таблицы значений тригонометрических функций или калькулятор, находим, что \(\sin 45^\circ = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\). Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{{12}}{{\sin B}} = \frac{{AC}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}}}\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{{12 \cdot 2}}{{\sqrt{2}}} = AC\]

\[\frac{{24}}{{\sqrt{2}}} = AC\]

Это является длиной стороны АС. Раскроем корень:

\[\frac{{24}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{24 \cdot \sqrt{2}}}{{2}} = 12 \cdot \sqrt{2} \approx 16.97\] см

Теперь перейдем к нахождению длины стороны ВС. Мы можем использовать теорему косинусов для этого. Теорема косинусов гласит, что для любой стороны треугольника квадрат ее длины равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае угол В равен 45 градусов, поэтому можем записать уравнение:

\[AC^2 = AV^2 + CV^2 - 2 \cdot AV \cdot CV \cdot \cos B\]

Подставим известные значения:

\[AC^2 = 12^2 + CV^2 - 2 \cdot 12 \cdot CV \cdot \cos 45^\circ\]

Поскольку у нас есть и длина стороны АС, мы можем переписать уравнение в следующей форме:

\[(12 \cdot \sqrt{2})^2 = 12^2 + CV^2 - 2 \cdot 12 \cdot CV \cdot \cos 45^\circ\]

Решим это уравнение:

\[144 \cdot 2 = 144 + CV^2 - 24 \cdot CV \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\]

\[288 = 144 + CV^2 - 12 \cdot CV \cdot \sqrt{2}\]

Перенесем все в одну сторону:

\[CV^2 - 12 \cdot CV \cdot \sqrt{2} - 144 = 0\]

Это квадратное уравнение относительно CV. Решим его, используя квадратное уравнение или дискриминант:

\[CV = \frac{{12 \cdot \sqrt{2} \pm \sqrt{{(12 \cdot \sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[CV = \frac{{12 \cdot \sqrt{2} \pm \sqrt{{288 + 576}}}}{{2}}\]

\[CV = \frac{{12 \cdot \sqrt{2} \pm \sqrt{{864}}}}{{2}}\]

\[CV = \frac{{12 \cdot \sqrt{2} \pm 12 \cdot \sqrt{6}}}{{2}}\]

\[CV = 6 \cdot \sqrt{2} \pm 6 \cdot \sqrt{6}\]

Это является длиной стороны ВС. Зная длины сторон АС и ВС, мы можем вычислить значение угла С, сумма углов треугольника равна 180 градусам:

\[A + B + C = 180^\circ\]

\[45^\circ + 45^\circ + C = 180^\circ\]

\[90^\circ + C = 180^\circ\]

\[C = 90^\circ\]

Таким образом, длины сторон АС и ВС равны \(12 \cdot \sqrt{2} \approx 16.97\) сантиметров и \(6 \cdot \sqrt{2} \pm 6 \cdot \sqrt{6}\) сантиметров соответственно, а угол С равен 90 градусам.