В условиях полностью конкурентного рынка, когда цена на товар установлена в размере 5 рублей за штуку и продано
В условиях полностью конкурентного рынка, когда цена на товар установлена в размере 5 рублей за штуку и продано 10 000 штук товара, одна фирма планирует внедрить передовую технологию, которая позволяет полностью обеспечить производство данного товара. Старая технология характеризуется функцией издержек: ТС = 1000q - 100q^2 + 5q, где ТС - общие издержки отрасли. Новая технология позволяет фирме получить прибыль в размере 20% от общих издержек производства по старой технологии. Какую цену и в каком объеме товара фирма установит?
Заблудший_Астронавт 3
Для решения этой задачи, нам необходимо сначала определить функцию спроса на товар, а затем определить оптимальное решение для фирмы на конкурентном рынке.Функция спроса на товар определяется с помощью уравнения платежеспособности и составляется из уравнений предложения всех фирм, однако в данной задаче предполагается, что другие фирмы не существуют, поэтому у нас есть только одна фирма.
Рассмотрим функцию предложения. По условию задачи, старая технология характеризуется функцией издержек:
\[ТС = 1000q - 100q^2 + 5q,\]
где \(ТС\) - общие издержки отрасли, а \(q\) - количество произведенного товара.
Для нахождения оптимального объема производства фирмы, необходимо найти такое значение \(q\), при котором ее прибыль будет максимальной. Прибыль фирмы вычисляется как разница между выручкой от продажи товара и издержками производства:
\[П = P_{ок} \cdot q - ТС,\]
где \(П\) - прибыль, \(P_{ок}\) - цена на товар устанавливаемая фирмой, \(ТС\) - общие издержки отрасли.
Так как мы знаем, что новая технология позволяет фирме получить прибыль в размере 20% от общих издержек производства по старой технологии, то мы можем записать следующее уравнение:
\[П = 0.2 \cdot ТС.\]
Подставим значение функции издержек в уравнение прибыли и получим:
\[0.2 \cdot (1000q - 100q^2 + 5q) = P_{ок} \cdot q - (1000q - 100q^2 + 5q).\]
Упростим это уравнение:
\[200q - 20q^2 + q = P_{ок} \cdot q - 1000q + 100q^2 - 5q.\]
Далее, объединим подобные слагаемые и приведем уравнение к квадратичному виду:
\[P_{ок} \cdot q + 1060q - 20q^2 - 5q + 100q^2 = 0.\]
Упростим:
\[(100 + 1060 - 20 + 100)q - 20q^2 = 0.\]
\[1240q - 20q^2 = 0.\]
\[20q(62 - q) = 0.\]
Таким образом, у нас есть два варианта для оптимального решения:
1) \(q = 0\), что означает, что фирма не будет производить товар.
2) \(62 - q = 0\), откуда получаем \(q = 62\).
Теперь, для определения цены, подставим значение \(q\) в функцию предложения:
\[ТС = 1000 \cdot 62 - 100 \cdot 62^2 + 5 \cdot 62.\]
Вычислим это значение:
\[ТС = 62000 - 384400 + 310 = -32190.\]
Так как общие издержки отрасли не могут быть отрицательными, фирма не будет использовать новую технологию и установит старую цену, которая равна 5 рублям за штуку, и объем производства будет равен 10000 штук.
Окончательный ответ: фирма установит цену в размере 5 рублей за штуку и произведет 10000 штук товара.