В вазе имеется 5 апельсинов и 8 яблок. Какое количество фруктов можно выбрать из них, чтобы среди выбранных фруктов

Zolotoy_Lord

7

Для решения данной задачи по комбинаторике, мы можем использовать комбинаторный принцип.

Итак, у нас есть 5 апельсинов и 8 яблок. Нам нужно выбрать из них ровно 3 апельсина.

Давайте разделим задачу на два случая:

1. Когда мы выбираем 3 апельсина из 5 имеющихся.
2. Когда мы выбираем меньше чем 3 апельсина из 5 имеющихся, и остальные фрукты будут яблоками.

Сначала рассмотрим первый случай. Мы должны выбрать 3 апельсина из 5 имеющихся. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний \(C(n, k)\), где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае, \(n = 5\) (количество апельсинов) и \(k = 3\).

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10
\]

Таким образом, есть 10 способов выбрать 3 апельсина из 5 имеющихся.

Теперь рассмотрим второй случай. Мы выбираем меньше чем 3 апельсина из 5 имеющихся, и остальные фрукты будут яблоками. Заметим, что нам нужно выбрать 0, 1 или 2 апельсина.

Если мы выбираем 0 апельсинов, то мы выбираем все 8 яблок: \(C(8, 0) = 1\) способ.

Если мы выбираем 1 апельсин, то мы выбираем 1 апельсин из 5 имеющихся и остальные 2 фрукта будут яблоками: \(C(5, 1) \cdot C(8, 2) = 5 \cdot 28 = 140\) способов.

Если мы выбираем 2 апельсина, то мы выбираем 2 апельсина из 5 имеющихся и остальной фрукт будет яблоком: \(C(5, 2) \cdot C(8, 1) = 10 \cdot 8 = 80\) способов.

Таким образом, второй случай дает нам в сумме \(1 + 140 + 80 = 221\) способ выбрать меньше чем 3 апельсина из 5 имеющихся.

Наконец, для определения общего количества способов, мы должны сложить значения из первого и второго случая:

\(10 + 221 = 231\)

Ответ: Всего существует 231 способ выбрать фрукты так, чтобы среди выбранных фруктов было ровно 3 апельсина.