Перестройте множество решений следующего неравенства: sinx > a (|a|

Даниил

60

Чтобы перестроить множество решений неравенства \(\sin(x) > a\left(\left|a\right|\right)\), важно учитывать значения \(a\) и исходное множество решений \([-\pi, \pi]\). Обратите внимание, что поскольку неравенство содержит модуль, необходимо рассмотреть два случая: \(a > 0\) и \(a < 0\).

При \(a > 0\) синусная функция \(\sin(x)\) будет положительной, если \(x\) лежит в интервалах \((-\pi + 2n\pi, \arcsin(a))\) и \((\pi - 2n\pi, -\arcsin(a))\), где \(n\) - целое число. В этих интервалах \(\sin(x) > a\).

При \(a < 0\) синусная функция \(\sin(x)\) будет отрицательной, если \(x\) лежит в интервалах \((-\arcsin(|a|) + 2n\pi, \pi - 2n\pi)\), где \(n\) - целое число. В этих интервалах \(\sin(x) > a\).

Объединяя оба случая, получаем, что множество решений неравенства \(\sin(x) > a\left(\left|a\right|\right)\) равно объединению всех интервалов, описанных выше.

Давайте решим неравенство для конкретного значения \(a\) в качестве примера. Пусть \(a = 0.5\).

При \(a = 0.5\), сначала найдем значения, для которых \(\sin(x) = 0.5\). Расчет дает два значения: \(x \approx \frac{\pi}{6} + 2n\pi\) и \(x \approx \frac{5\pi}{6} + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

Затем рассмотрим интервалы между этими значениями. Мы знаем, что в этих интервалах \(\sin(x)\) больше \(0.5\).

Итак, множество решений для \(a = 0.5\) представлено следующим образом:
\[
x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi\right) \cup \left(\frac{7\pi}{6} + 2n\pi, \frac{11\pi}{6} + 2n\pi\right), \quad n \in \mathbb{Z}
\]

Надеюсь, это объяснение и пошаговое решение помогут вам лучше понять, как перестроить и найти множество решений данного неравенства.