Перестройте множество решений следующего неравенства: sinx > a (|a|

Даниил

60

Чтобы перестроить множество решений неравенства $\sin (x)>a\left(\left|a\right|\right)$, важно учитывать значения $a$ и исходное множество решений $[-\pi ,\pi ]$. Обратите внимание, что поскольку неравенство содержит модуль, необходимо рассмотреть два случая: $a>0$ и $a<0$.

При $a>0$ синусная функция $\sin (x)$ будет положительной, если $x$ лежит в интервалах $(-\pi +2n\pi ,\arcsin (a))$ и $(\pi -2n\pi ,-\arcsin (a))$, где $n$ - целое число. В этих интервалах $\sin (x)>a$.

При $a<0$ синусная функция $\sin (x)$ будет отрицательной, если $x$ лежит в интервалах $(-\arcsin (|a|)+2n\pi ,\pi -2n\pi )$, где $n$ - целое число. В этих интервалах $\sin (x)>a$.

Объединяя оба случая, получаем, что множество решений неравенства $\sin (x)>a\left(\left|a\right|\right)$ равно объединению всех интервалов, описанных выше.

Давайте решим неравенство для конкретного значения $a$ в качестве примера. Пусть $a=0.5$.

При $a=0.5$, сначала найдем значения, для которых $\sin (x)=0.5$. Расчет дает два значения: $x\approx \frac{\pi }{6}+2n\pi$ и $x\approx \frac{5\pi }{6}+2n\pi$, где $n$ - целое число.

Затем рассмотрим интервалы между этими значениями. Мы знаем, что в этих интервалах $\sin (x)$ больше $0.5$.

Итак, множество решений для $a=0.5$ представлено следующим образом:
$$x\in (\frac{\pi }{6}+2n\pi ,\frac{5\pi }{6}+2n\pi )\cup (\frac{7\pi }{6}+2n\pi ,\frac{11\pi }{6}+2n\pi ),n\in \mathbb{Z}$$

Надеюсь, это объяснение и пошаговое решение помогут вам лучше понять, как перестроить и найти множество решений данного неравенства.