Ваня разделил лист ватмана на два прямоугольных фрагмента. Затем он обнаружил, что сумма периметров этих фрагментов

Морской_Пляж_8112

64

80, а разность площадей этих кусков равна 15. Найдите длину большей стороны одного из фрагментов листа ватмана.

Пусть \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольных фрагментов.

Так как сумма периметров фрагментов равна 80, то можем записать уравнение:
\[2a + 2b = 80\]

Также известно, что разность площадей равна 15:
\[ab = 15\]

Разделим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2 в первом уравнении:
\[a + b = 40\]

Из первого уравнения выразим \(a\) через \(b\):
\(a = 40 - b\)

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:
\((40 - b)b = 15\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:
\(40b - b^2 = 15\)

Перенесем все переменные влево и приведем уравнение к виду квадратного трехчлена:
\(b^2 - 40b + 15 = 0\)

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой Дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

В данном уравнении коэффициенты \(a = 1\), \(b = -40\) и \(c = 15\).

Вычислим дискриминант:
\[D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 1600 - 60 = 1540\]

Так как \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня.

Для нахождения корней воспользуемся формулами квадратного трехчлена:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов в формулу:
\[b_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{1540}}{2} = \frac{40 + \sqrt{1540}}{2} = 20 + \frac{\sqrt{1540}}{2}\]

\[b_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{1540}}{2} = \frac{40 - \sqrt{1540}}{2} = 20 - \frac{\sqrt{1540}}{2}\]

Так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными, то нам интересует только положительный корень \(b_1\).

Теперь найдем \(a\) по формуле \(a = 40 - b\):
\[a_1 = 40 - b_1 = 40 - (20 + \frac{\sqrt{1540}}{2}) = 20 - \frac{\sqrt{1540}}{2}\]

Таким образом, длина большей стороны одного из фрагментов листа ватмана равна \(a_1 = 20 - \frac{\sqrt{1540}}{2}\).