Вариант 1. Задача 1. Какими числами эквивалентны следующие числа в десятичной системе счисления: а) 10110112 б) 5178

Alisa

36

Задача 1:
а) Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную, нужно умножить каждую цифру числа на 2 в степени, начиная справа налево, и сложить полученные произведения. Давайте выполним это для числа 10110112:

\[
1 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0
\]

\[
= 1 \times 128 + 0 \times 64 + 1 \times 32 + 1 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1
\]

\[
= 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1
\]

\[
= 183
\]

Таким образом, число 10110112 в десятичной системе счисления эквивалентно числу 183.

б) Чтобы перевести число из пятеричной системы счисления в десятичную, нужно умножить каждую цифру числа на 5 в степени, начиная справа налево, и сложить полученные произведения. Давайте выполним это для числа 5178:

\[
5 \times 5^3 + 1 \times 5^2 + 7 \times 5^1 + 8 \times 5^0
\]

\[
= 5 \times 125 + 1 \times 25 + 7 \times 5 + 8 \times 1
\]

\[
= 625 + 25 + 35 + 8
\]

\[
= 693
\]

Таким образом, число 5178 в десятичной системе счисления эквивалентно числу 693.

в) Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, нужно умножить каждую цифру числа на 16 в степени, начиная справа налево, и сложить полученные произведения. Давайте выполним это для числа 1F16:

\[
1 \times 16^1 + 15 \times 16^0
\]

\[
= 1 \times 16 + 15 \times 1
\]

\[
= 16 + 15
\]

\[
= 31
\]

Таким образом, число 1F16 в десятичной системе счисления эквивалентно числу 31.

Задача 2:
Чтобы перевести число 25910 в двоичную систему счисления, нужно последовательно делить это число на два, запоминая остатки от деления. Результат будем записывать в обратном порядке. Вот как это делается:

\[
259 \div 2 = 129 \quad (\text{остаток } 1)
\]
\[
129 \div 2 = 64 \quad (\text{остаток } 1)
\]
\[
64 \div 2 = 32 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
32 \div 2 = 16 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
16 \div 2 = 8 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
8 \div 2 = 4 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
4 \div 2 = 2 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
2 \div 2 = 1 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
1 \div 2 = 0 \quad (\text{остаток } 1)
\]

Теперь составим двоичное число, записывая остатки от деления в обратном порядке: 1000000112.

Чтобы перевести число 25910 в восьмеричную систему счисления, нужно последовательно делить это число на восемь и записывать остатки от деления. Результат также будем записывать в обратном порядке:

\[
259 \div 8 = 32 \quad (\text{остаток } 3)
\]
\[
32 \div 8 = 4 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
4 \div 8 = 0 \quad (\text{остаток } 4)
\]

Таким образом, восьмеричное представление числа 25910 будет 4038.

Чтобы перевести число 25910 в шестнадцатеричную систему счисления, нужно последовательно делить это число на шестнадцать, записывая остатки от деления. Результат также будем записывать в обратном порядке:

\[
259 \div 16 = 16 \quad (\text{остаток } 3)
\]
\[
16 \div 16 = 1 \quad (\text{остаток } 0)
\]
\[
1 \div 16 = 0 \quad (\text{остаток } 1)
\]

Остатки записываем в виде шестнадцатеричных цифр: 103.

Таким образом, шестнадцатеричное представление числа 25910 будет 10316.

Задача 3:
а) Чтобы сложить двоичные числа 10111012 и 11101112 в десятичной системе счисления, нужно их перевести в десятичную систему и просуммировать полученные результаты:

\[
1011101_2 + 1110111_2 = 93_{10} + 119_{10} = 212_{10}
\]

Таким образом, сумма чисел 10111012 и 11101112 в десятичной системе счисления равна 212.

б) Чтобы сложить восьмеричные числа 4378 и 6758 в десятичной системе, нужно их перевести в десятичную систему и просуммировать полученные результаты:

\[
437_8 + 675_8 = 287_{10} + 445_{10} = 732_{10}
\]

Таким образом, сумма чисел 4378 и 6758 в десятичной системе счисления равна 732.

в) Чтобы сложить шестнадцатеричные числа 5A116 и 27F16 в десятичной системе, нужно их перевести в десятичную систему и просуммировать полученные результаты:

\[
5A1_{16} + 27F_{16} = 1441_{10} + 639_{10} = 2080_{10}
\]

Таким образом, сумма чисел 5A116 и 27F16 в десятичной системе счисления равна 2080.

Задача 4:
а) Чтобы выполнить вычитание 101002 - 1112 в двоичной системе счисления, нужно вычитать каждую цифру числа b из каждой цифры числа a, начиная справа налево:

\[
\begin{align*}
&\phantom{1}1 \\
&101002 \\
-&\phantom{0}1112 \\
&\overline{\phantom{000000}1011010}
\end{align*}
\]

Таким образом, разность чисел 101002 и 1112 в двоичной системе счисления равна 1011010.

б) Чтобы выполнить вычитание 2308 - 1558 в восьмеричной системе счисления, нужно вычитать каждую цифру числа b из каждой цифры числа a, начиная справа налево:

\[
\begin{align*}
&\phantom{2}2 \\
&\phantom{0}2308 \\
-&\phantom{0}1558 \\
&\overline{\phantom{00000}1030}
\end{align*}
\]

Таким образом, разность чисел 2308 и 1558 в восьмеричной системе счисления равна 1030.

в) Чтобы выполнить вычитание 3116 - 1А16 в шестнадцатеричной системе счисления, нужно вычитать каждую цифру числа b из каждой цифры числа a, начиная справа налево:

\[
\begin{align*}
&3 \\
&3116 \\
-&1А16 \\
&\overline{\phantom{000}2C0}
\end{align*}
\]

Таким образом, разность чисел 3116 и 1А16 в шестнадцатеричной системе счисления равна 2C0.