Вариант II 1. Рис. 4.245. Если Z AOD = 90°, 2 OAD = 70°, и 2 OCB = 20°, то нужно доказать, что AD || BC

Bulka

14

1. Для того чтобы доказать, что отрезки AD и BC параллельны, нам понадобится использовать свойства углов, образованных пересекающимися прямыми.

Из условия задачи известно, что угол ZAOD равен 90°. Угол OAD равен 70° и угол OCB равен 20°.

Для доказательства параллельности отрезков AD и BC, мы можем воспользоваться следующим свойством: если две прямые пересекаются таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне равна 180°, то эти прямые параллельны.

Однако, чтобы использовать это свойство, нам нужно выразить углы в терминах известных нам углов.

Заметим, что углы ZAOD и ZAOC образуют линейную пару углов, так как их сумма равна 180°.

Из этого следует, что угол ZAOC равен 90° - OAD, так как ZAOD = 90°, а углы, образующие линейную пару, дополняют друг друга до 180°. Таким образом, угол ZAOC = 90° - 70° = 20°.

Теперь мы можем сравнить угол ZAOC и угол OCB. Нам известно, что угол ZAOC = 20° и угол OCB = 20°, что означает, что они равны друг другу.

Мы выяснили, что ZAOC = OCB. Но вспомним, что угол ZAOC = 90° - OAD. Так что мы можем записать равенство 90° - OAD = OCB.

Далее, преобразуем это равенство, чтобы выразить OAD: OAD = 90° - OCB.

У нас также есть изначальное условие OCB = 20°. Подставляя это значение в равенство, получаем OAD = 90° - 20° = 70°.

Таким образом, мы доказали, что OAD = 70°.

Теперь мы можем сравнить углы OAD и OCB. Мы знаем, что OCB = 20° и OAD = 70°. Из этого следует, что они не равны друг другу, а значит, не образуют пару вертикальных углов.

Таким образом, углы ZAOC и OCB равны, но углы OAD и OCB не равны. Это означает, что вершины O и C находятся на одной и той же прямой, но не совпадают.

Отсюда следует, что отрезки AD и BC параллельны, так как они лежат на параллельных прямых OAC и OCB и не пересекаются. Таким образом, мы доказали, что AD || BC.

2. Задача дана в треугольнике ABC, где ZC = 90°, CC, - это высота, CC, = 5 см, и ВС = 10 см. Нам нужно найти 2 САВ.

Поскольку треугольник является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы треугольника.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае гипотенузой является отрезок BC, а катетами - отрезки AC и AB.

Таким образом, мы можем записать:

\(BC^2 = AC^2 + AB^2\)

Подставляя значения, которые нам даны, получаем:

\(BC^2 = 5^2 + 10^2\)

\(BC^2 = 25 + 100\)

\(BC^2 = 125\)

Используя квадратный корень, мы можем найти значение BC:

\(BC = \sqrt{125}\)

\(BC = 5\sqrt{5}\)

Теперь, чтобы найти значение 2 САВ, мы можем использовать соотношение катета, высоты и гипотенузы треугольника.

Согласно определению тангенса для прямоугольного треугольника, \(\tan(2 САВ) = \frac{AC}{BC}\).

Подставляя значения, получаем:

\(\tan(2 САВ) = \frac{5}{5\sqrt{5}}\)

\(\tan(2 САВ) = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Теперь мы можем найти значение 2 САВ, применяя обратную функцию тангенса:

\(2 САВ = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)

Таким образом, мы получаем значение 2 САВ, равное \(2 САВ \approx 21.8°\).

3. Чтобы создать равнобедренный треугольник, использующий основание и медиану, проведенную к нему из вершины треугольника, нам потребуется следовать нескольким шагам.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, где AC - основание, а AM - медиана, проведенная из вершины A.

1) Найдите середину отрезка AC и назовите ее точкой D. Это можно сделать, разделив отрезок AC пополам.

2) Проведите прямую, проходящую через точки B и D, и продлите ее наружу за пределы треугольника.

3) На продолжении прямой BD выберите точку E, чтобы получить отрезок DE такой же длины, как отрезок BD.

4) Точка E будет третьей вершиной нашего равнобедренного треугольника.

Теперь у нас есть треугольник ADE, в котором отрезок AD равен отрезку DE, так как точки D и E находятся на продолжении прямой BD, и отрезок DА является медианой. Отрезок AE теперь стал основанием, так как он является продолжением призводящей отрезка АВ.

Таким образом, треугольник ADE является равнобедренным треугольником.

4*. Чтобы построить угол, который равен 120°, мы можем использовать циркуль и линейку следующим образом:

1) Нарисуйте отрезок AB с помощью линейки. Это будет одна сторона нашего угла.

2) Устанавливая радиус циркуля, поместите его нижнее острие на точку A и нарисуйте дугу, пересекающую отрезок AB.

3) Установите радиус циркуля таким образом, чтобы его верхнее острие находилось в точке B и нарисуйте вторую дугу, пересекающую первую дугу в точке C.

4) Точка C будет третьей точкой нашего угла. AB и BC - это стороны угла, а точка C - его вершина.

Таким образом, у нас есть угол ABC, который равен 120°.