Какова вероятность выхода из строя менее половины микросхем в течение одного месяца, если в приборе содержится шесть

Zolotoy_Medved_3566

49

Для решения данной задачи нам потребуется применить понятие вероятности и применить его к заданным условиям.

Вероятность выхода из строя одной микросхемы составляет 0,2 или 20% (поскольку вероятность это доля возможных исходов, которые нам интересны).

Для определения вероятности выхода из строя менее половины микросхем в приборе, нам нужно учесть все возможные случаи, когда выходит из строя менее трех микросхем (менее половины от 6).

Есть несколько способов подсчета вероятностей, и одним из самых простых является использование биномиального распределения. В данном случае мы можем использовать формулу для вычисления вероятности биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- P(X = k) - вероятность того, что случится k событий (в нашем случае, выход из строя k микросхем),
- C_n^k - количество способов выбрать k элементов из n элементов (в нашем случае, выбрать k микросхем из общего числа микросхем в приборе),
- p - вероятность одного события (вероятность выхода из строя одной микросхемы),
- (1-p) - вероятность того, что событие не случится (не выйдет из строя одна микросхема),
- n - общее количество событий (в нашем случае, общее число микросхем в приборе).

Теперь давайте применим эту формулу к нашей задаче:

Для нас интересны события, когда выйдет из строя менее трех микросхем (0, 1 или 2). То есть, нам потребуется сложить вероятности каждого из этих случаев:

\[P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\]

Подставим значения в формулу:

\[P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.2)^0 \cdot (1-0.2)^{6-0}\]
\[P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (1-0.2)^{6-1}\]
\[P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.2)^2 \cdot (1-0.2)^{6-2}\]

Теперь рассчитаем каждое из этих значений:

\[P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.8^6 \approx 0.2621\]
\[P(X=1) = 6 \cdot 0.2 \cdot 0.8^5 \approx 0.3932\]
\[P(X=2) = 15 \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^4 \approx 0.2458\]

Теперь сложим все эти вероятности:

\[P(X < 3) \approx 0.2621 + 0.3932 + 0.2458 \approx 0.9011\]

Таким образом, вероятность выхода из строя менее половины микросхем в течение одного месяца составляет приблизительно 0,9011 или около 90,11%.