Верифицировать справедливость равенства и переписать его двойственное выражение: (A U B) (B U C) (C U D) = AC U

Yantar_1676

18

Исходная задача состоит в верификации равенства и переписи его двойственного выражения. Давайте разберемся с этим шаг за шагом:

1. Верификация равенства:
Для начала давайте раскроем обе части равенства и сравним результаты.

Левая часть: (A U B) (B U C) (C U D)
Оператор \(\cup\) обозначает объединение множества, поэтому в данном случае он объединяет множества A и B, затем результат этого объединения объединяется с множеством C, и затем полученное множество объединяется с множеством D. Итак, давайте проделаем эти шаги:

(A U B) (B U C) (C U D) = (A U B U C) (B U C U D)

Правая часть: AC U BC U BD
Здесь оператор \(\cup\) также объединяет множества. Итак, она объединяет множество AC с множеством BC, затем результат этого объединения объединяется с множеством BD. Раскроем еще одну скобку:

AC U BC U BD = (A U C) U (B U C) U BD

Итак, мы получили две разные формы записи равенства. Для того чтобы утверждать, что они равны, необходимо показать, что левая и правая части содержат одинаковые элементы.

Раскрытыми видами левой и правой частей равенства являются:

Левая часть: (A U B U C) (B U C U D)
Правая часть: (A U C) U (B U C) U BD

Теперь нам нужно показать, что наборы элементов каждой части совпадают.

Если мы внимательно посмотрим на эти выражения, то заметим, что внутри скобок у левой и правой части есть общая часть - B U C. А значит, B U C входит в оба выражения.

Кроме того, B U C U D также входит в левую часть выражения, и BD входит в правую часть выражения.

То есть, для любых A, B, C и D, верно, что левая и правая части равны, так как они содержат одинаковые элементы.

2. Перепись двойственного выражения:
Двойственное выражение данного равенства можно получить, инвертируя операции объединения и пересечения, а также меняя порядок множеств.

Выражение AC U BC U BD можно переписать как (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (B ∩ D).

Таким образом, двойственное выражение равенства будет следующим: (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (B ∩ D).

Третье задание четвертого варианта можно переформулировать следующим образом:
Напишите выражение, состоящее из (A ∩ C), (B ∩ C) и (B ∩ D), объединенных с помощью операции объединения \(\cup\).