Верно ли, что если угол при вершине треугольника составляет 40°, то биссектрисы двух других углов треугольника

Maksik

56

Да, верно, что биссектрисы двух других углов треугольника пересекаются под углом 80 градусов, если угол при вершине треугольника составляет 40°. Давайте разберемся, почему это так.

Представьте треугольник ABC, где угол ACB составляет 40°. Пусть BD и BE - биссектрисы углов ABC и ACB соответственно. Точка D лежит на AC, а точка E - на AB.

Посмотрим на угол ABC. Поскольку BD - биссектриса, то угол ABD равен углу CBD. Обозначим их общую меру через x. То есть, угол ABD = угол CBD = x.

Теперь посмотрим на угол ACB. Поскольку BE - биссектриса, то угол ABE равен углу CBE. Обозначим их общую меру через y. То есть, угол ABE = угол CBE = y.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°. Мы уже знаем, что угол ACB равен 40°, поэтому угол ABC = (180° - 40°) = 140°.

Рассмотрим треугольник ABD. Если сложить угол ABD и угол ABC, то получится 180°, потому что это смежные углы. То есть, x + 140° = 180°. Отсюда мы можем найти, что x = 40°.

Аналогично, рассмотрим треугольник ABE. Если сложить угол ABE и угол ACB, то получится 180°, потому что это смежные углы. То есть, y + 40° = 180°. Отсюда мы можем найти, что y = 140°.

Таким образом, мы нашли значения углов x = 40° и y = 140°.

Теперь обратим внимание на треугольник BDE. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то угол BDE = (180° - x - y) = 180° - 40° - 140° = 0°.

Угол BDE имеет меру 0°, то есть прямой угол. Это значит, что биссектрисы BD и BE пересекаются под прямым углом, или под углом 90°.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы двух других углов треугольника пересекаются под углом 80°, если угол при вершине треугольника составляет 40°.