Вероятность сдачи экзамена студентом можно найти, зная, что он решает 25 из 30 задач в первом туре и 18 из 24 задач

Забытый_Сад

19

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить вероятность успешной сдачи экзамена студентом.

Давайте рассмотрим каждый тур по отдельности. В первом туре студент решает 25 из 30 задач. Вероятность решить конкретную задачу успешно будет равна 25/30 = 5/6. Вероятность успешного решения задачи в первом туре будет одинаковой для всех четырех задач.

Аналогично, во втором туре студент решает 18 из 24 задач. Вероятность решить конкретную задачу успешно будет равна 18/24 = 3/4. Вероятность успешного решения задачи во втором туре будет также одинаковой для всех четырех задач.

Теперь давайте найдем вероятность сдачи экзамена. Чтобы успешно сдать экзамен, студент должен решить не менее трех задач в каждом из двух туров.

Во-первых, найдем вероятность решить три задачи в первом туре. Для этого нужно сочетание (Combination) из четырех задач, из которых выбираем три задачи, и вероятность успешного решения трех задач, умноженная на вероятность неуспешного решения одной задачи. Таким образом, вероятность решить три задачи в первом туре будет равна:
\[\binom{4}{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1\]

Во-вторых, найдем вероятность решить три задачи во втором туре. То же самое сочетание задач, которые нужно решить, и вероятность успешного решения трех задач, умноженная на вероятность неуспешного решения одной задачи во втором туре. Таким образом, вероятность решить три задачи во втором туре будет равна:
\[\binom{4}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1\]

Теперь у нас есть вероятности успешного решения трех задач в каждом из туров.

Для вероятности успешного решения задач в двух турах, необходимо перемножить вероятности успешного решения трех задач в каждом из них. Таким образом, вероятность успешного решения трех задач в первом и втором турах будет равна:
\[\binom{4}{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1\]

Осталось найти вероятность успешной сдачи экзамена. Для этого нужно сложить вероятности успешного решения трех, четырех задач в каждом из туров, так как нас устраивает любой успех в пределах необходимого количества задач. Таким образом, вероятность успешной сдачи экзамена будет равна:
\[\binom{4}{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 + \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 + \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 + \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0\]