Во сколько раз длина окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньше длины окружности, описанной вокруг этого

Luka

42

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание некоторых свойств правильных многоугольников и окружностей.

Правильный шестиугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Давайте обозначим длину стороны правильного шестиугольника как "a".

Окружность, описанная вокруг шестиугольника, проходит через все его вершины, а значит, радиус этой окружности будет равен расстоянию от центра шестиугольника до одной из его вершин. Обозначим радиус этой окружности как "R".

А теперь рассмотрим окружность, вписанную в шестиугольник. Такая окружность касается всех сторон шестиугольника и находится внутри него. Радиус вписанной окружности обозначим как "r".

Чтобы найти длину окружности, нужно использовать формулу \(C = 2\pi R\), где \(C\) - длина окружности, \(R\) - радиус окружности, а \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3.14.

Теперь мы готовы найти соотношение между длиной окружности, вписанной в шестиугольник, и длиной окружности, описанной вокруг него.

Для начала найдем радиус вписанной окружности \(r\). В правильном шестиугольнике от центра до середины одной из его сторон можно провести высоту. Так как это правильный многоугольник, то эта высота разделит сторону шестиугольника на две равные части.

Таким образом, получаем прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза (медиана) равна радиусу вписанной окружности \(r\), а катет равен половине стороны шестиугольника \(a/2\).

Применяя теорему Пифагора, можем найти \(r\):
\[r^2 = (a/2)^2 + h^2\]
\[r^2 = (a/2)^2 + (a \sqrt{3}/2)^2\]
\[r^2 = a^2/4 + 3a^2/4\]
\[r^2 = 4a^2/4\]
\[r^2 = a^2\]
\[r = a\]

Итак, радиус вписанной окружности равен стороне шестиугольника \(a\).

Теперь найдем радиус окружности, описанной вокруг шестиугольника \(R\). Для этого нам понадобится теорема о равномерно распределенных углах в правильном многоугольнике. Будучи центром шестиугольника, радиус \(R\) проходит через две противоположные вершины.

Рассмотрим треугольник, образованный радиусом \(R\) и одной из сторон правильного шестиугольника. Заметим, что этот треугольник - равносторонний треугольник, так как сторона и радиус равны между собой. Поэтому у этого треугольника все углы равны 60 градусам.

Из этого следует, что между двумя вершинами шестиугольника, через которые проходит радиус \(R\), есть криволинейный отрезок, состоящий из 6 равных дуг, которые в сумме составляют полную окружность. Каждая из этих дуг содержит угол в 60 градусов.

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг шестиугольника, равна 6 раз длине радиуса \(R\), то есть \(C = 6\cdot 2\pi R = 12\pi R\).

Теперь у нас есть все необходимые значения. Длина окружности, вписанной в шестиугольник, равна \(C = 2\pi r = 2\pi a\) и длина окружности, описанной вокруг шестиугольника, равна \(12\pi R = 12\pi a\).

Теперь можем рассчитать отношение:
\(\frac{{2\pi a}}{{12\pi a}} = \frac{1}{6}\)

Итак, длина окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньше длины окружности, описанной вокруг него в 6 раз.