Во сколько раз увеличилась константа скорости первой реакции при нагревании от Т1 до Т2, если энергия активации этой

Arbuz

22

Давайте разберем эту задачу по шагам. Первым шагом будет выяснить, как связана энергия активации с константой скорости реакции.

Энергия активации реакции связана с константой скорости следующим образом:

\[k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}\]

где:
- \(k\) - константа скорости реакции
- \(E_a\) - энергия активации реакции
- \(R\) - универсальная газовая постоянная (значение около 8.314 Дж/моль·К)
- \(T\) - температура в Кельвинах

Теперь перейдем к постановке задачи.

У нас есть две реакции. Пусть первая реакция имеет константу скорости \(k_1\), а вторая реакция - \(k_2\).

Мы знаем, что энергия активации первой реакции (\(E_{a1}\)) больше, чем энергия активации второй реакции (\(E_{a2}\)) в 1.5 раза. То есть,

\[E_{a1} = 1.5 \cdot E_{a2}\]

Также у нас есть информация, что константа скорости второй реакции увеличилась в \(a\) раз. То есть,

\[k_2 = a \cdot k_1\]

Теперь нам нужно найти, во сколько раз увеличилась константа скорости первой реакции при нагревании от \(T_1\) до \(T_2\).

Мы знаем, что для каждой реакции константа скорости связана с энергией активации по формуле, которую мы обсудили выше.

Для упрощения вычислений, введем обозначение \(k_1"\) для константы скорости первой реакции при температуре \(T_2\). Аналогично, обозначим константу скорости второй реакции при температуре \(T_2\) как \(k_2"\).

Теперь мы можем записать соотношение между этими константами скорости:

\[\frac{k_1"}{k_1} = \frac{A_1 \cdot e^{-\frac{E_{a1}}{RT_2}}}{A_1 \cdot e^{-\frac{E_{a1}}{RT_1}}} = e^{\frac{E_{a1}}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)}\]

и

\[\frac{k_2"}{k_2} = \frac{A_2 \cdot e^{-\frac{E_{a2}}{RT_2}}}{A_2 \cdot e^{-\frac{E_{a2}}{RT_1}}} = e^{\frac{E_{a2}}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)}\]

С помощью полученных соотношений мы можем выразить \(k_1"\) через \(k_2\) и найти искомое соотношение:

\[\frac{k_1"}{k_1} = \frac{k_1"}{a \cdot k_1} = \frac{k_2"}{k_2} = e^{\frac{E_{a2}}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)}\]

Теперь подставим известные значения в это уравнение. Мы знаем, что \(E_{a1} = 1.5 \cdot E_{a2}\), поэтому:

\[e^{\frac{1.5E_{a2}}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)} = \frac{1}{a}\]

Возведем обе части уравнения в степень 1.5:

\[e^{\frac{1.5E_{a2}}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) \cdot 1.5} = \left(\frac{1}{a}\right)^{1.5}\]

Таким образом, константа скорости первой реакции увеличилась в \(a^{1.5}\) раза при нагревании от \(T_1\) до \(T_2\).

Ответ: константа скорости первой реакции увеличилась в \(a^{1.5}\) раза.