Во сколько раз увеличилась потенциальная энергия пружины, если длина пружины увеличилась в 3 раза?

Volshebnyy_Leprekon

2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть формулу для потенциальной энергии пружины. Потенциальная энергия пружины связана с ее деформацией и выражается следующей формулой:

\[E_{пр} = \frac{1}{2}kx^2\]

Где:
\(E_{пр}\) - потенциальная энергия пружины,
\(k\) - коэффициент упругости пружины,
\(x\) - деформация (изменение длины) пружины.

В данной задаче нам известно, что длина пружины увеличилась в 3 раза. Обозначим исходную длину пружины как \(x_1\) и новую длину как \(x_2\).

Исходя из этого, у нас есть следующее соотношение:

\[x_2 = 3 \cdot x_1\]

Поскольку изменение деформации пропорционально изменению длины пружины, мы можем сказать, что:

\(\Delta x = x_2 - x_1 = 3 \cdot x_1 - x_1 = 2 \cdot x_1\)

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи и вычислить, во сколько раз увеличилась потенциальная энергия пружины.

Для этого мы подставим изменение деформации в формулу для потенциальной энергии и сравним полученные значения:

\[E_{пр_2} = \frac{1}{2}k(x_2)^2\]

\[E_{пр_1} = \frac{1}{2}k(x_1)^2\]

Теперь найдем отношение новой потенциальной энергии к исходной:

\(\frac{E_{пр_2}}{E_{пр_1}} = \frac{\frac{1}{2}k(x_2)^2}{\frac{1}{2}k(x_1)^2}\)

Сократим общий множитель \(\frac{1}{2}k\):

\(\frac{E_{пр_2}}{E_{пр_1}} = \frac{(x_2)^2}{(x_1)^2}\)

Подставим значение \(x_2 = 3 \cdot x_1\):

\(\frac{E_{пр_2}}{E_{пр_1}} = \frac{(3 \cdot x_1)^2}{(x_1)^2}\)

Упростим выражение:

\(\frac{E_{пр_2}}{E_{пр_1}} = \frac{9 \cdot (x_1)^2}{(x_1)^2} = 9\)

Итак, потенциальная энергия пружины увеличилась в 9 раз.

Ответ: Потенциальная энергия пружины увеличилась в 9 раз, когда длина пружины увеличилась в 3 раза.