Волшебный лес населяют четыре персонажа: Иа, Винни-Пух, Пятачок и Сова. У Иа ежемесячный доход составляет 70 фунтов

Belochka_2124

6

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

а) Чтобы построить кривую Лоренца, нам необходимо знать совокупные доходы всех персонажей. Общий доход будет равен сумме доходов Иа, Винни-Пуха, Пятачка и Совы. Давайте найдем эту сумму:

\[
\text{{Общий доход}} = \text{{Доход Иа}} + \text{{Доход Винни-Пуха}} + \text{{Доход Пятачка}} + \text{{Доход Совы}}
\]
\[
\text{{Общий доход}} = 70 + 140 + 210 + 280
\]
\[
\text{{Общий доход}} = 700 \text{{ фунтов стерлингов}}
\]

Теперь мы можем построить кривую Лоренца. Для этого необходимо определить долю совокупного дохода, которую получает каждый персонаж. Для каждого персонажа найдем отношение его дохода к общему доходу. Давайте это сделаем:

\[
\text{{Доля Иа}} = \frac{{\text{{Доход Иа}}}}{{\text{{Общий доход}}}} = \frac{{70}}{{700}} = 0.1
\]
\[
\text{{Доля Винни-Пуха}} = \frac{{\text{{Доход Винни-Пуха}}}}{{\text{{Общий доход}}}} = \frac{{140}}{{700}} = 0.2
\]
\[
\text{{Доля Пятачка}} = \frac{{\text{{Доход Пятачка}}}}{{\text{{Общий доход}}}} = \frac{{210}}{{700}} = 0.3
\]
\[
\text{{Доля Совы}} = \frac{{\text{{Доход Совы}}}}{{\text{{Общий доход}}}} = \frac{{280}}{{700}} = 0.4
\]

Теперь давайте построим таблицу, где первый столбец будет содержать кумулятивные доли (сумму долей до текущего персонажа), а второй столбец будет содержать кумулятивный доход (сумму всех доходов до текущего персонажа). Вот эта таблица:

\[
\begin{{array}}{{|c|c|}}
\hline
\text{{Кумулятивные доли}} & \text{{Кумулятивный доход (фунтов стерлингов)}} \\
\hline
0 & 0 \\
0.1 & 70 \\
0.3 & 210 \\
0.6 & 420 \\
\hline
\end{{array}}
\]

Теперь мы можем построить кривую Лоренца. Ось X будет представлять кумулятивные доли, а ось Y - кумулятивный доход. Каждая точка на графике будет соответствовать значениям, указанным в таблице. Затем мы соединим все эти точки линией.

Теперь давайте рассчитаем коэффициент Джини. Этот коэффициент позволяет нам оценить степень неравенства распределения доходов. Он рассчитывается следующим образом:

\[
\text{{Коэффициент Джини}} = \frac{{\text{{Площадь между линией Лоренца и линией равенства}}}}{{\text{{Площадь под линией равенства}}}}
\]

Чем ближе коэффициент Джини к 1, тем выше степень неравенства. Давайте рассчитаем его.

Площадь под линией равенства равна половине площади прямоугольника со сторонами 1 и 1, то есть \(0.5 \times 0.5 = 0.25\).

Чтобы рассчитать площадь между линией Лоренца и линией равенства, можно взять сумму площадей всех прямоугольников, образованных отрезками между линией Лоренца и линией равенства. Давайте это сделаем:

\[
\text{{Площадь между линией Лоренца и линией равенства}} = \text{{Площадь первого прямоугольника}} + \text{{Площадь второго прямоугольника}}
\]

Площадь первого прямоугольника равна разности площадей треугольников 1 и 2:

Треугольник 1:
\[
\text{{Площадь треугольника}} = \frac{{1 \times 0.1}}{{2}} = 0.05
\]

Треугольник 2:
\[
\text{{Площадь треугольника}} = \frac{{0.1 \times 0.1}}{{2}} = 0.005
\]

Разность площадей треугольников:
\[
\text{{Площадь первого прямоугольника}} = 0.05 - 0.005 = 0.045
\]

Площадь второго прямоугольника равна разности площадей треугольников 2 и 3:

Треугольник 2:
\[
\text{{Площадь треугольника}} = \frac{{0.3 \times 0.2}}{{2}} = 0.03
\]

Треугольник 3:
\[
\text{{Площадь треугольника}} = \frac{{0.2 \times 0.2}}{{2}} = 0.02
\]

Разность площадей треугольников:
\[
\text{{Площадь второго прямоугольника}} = 0.03 - 0.02 = 0.01
\]

Суммируя площади первого и второго прямоугольников, получаем

\[
\text{{Площадь между линией Лоренца и линией равенства}} = 0.045 + 0.01 = 0.055
\]

Теперь можем найти коэффициент Джини:

\[
\text{{Коэффициент Джини}} = \frac{{0.055}}{{0.25}} = 0.22
\]

Ответ: Кривая Лоренца построена, коэффициент Джини равен 0.22.

б)* Теперь, когда появился Крошка Ру, его доход нужно добавить к общему доходу и пересчитать кривую Лоренца и коэффициент Джини.

\[
\text{{Новый общий доход}} = \text{{Общий доход}} + \text{{Доход Крошка Ру}} = 700 + 700 = 1400 \text{{ фунтов стерлингов}}
\]

Опять же, мы можем найти доли каждого персонажа и перестроить таблицу:

\[
\text{{Доля Иа}} = \frac{{70}}{{1400}} = 0.05
\]
\[
\text{{Доля Винни-Пуха}} = \frac{{140}}{{1400}} = 0.1
\]
\[
\text{{Доля Пятачка}} = \frac{{210}}{{1400}} = 0.15
\]
\[
\text{{Доля Совы}} = \frac{{280}}{{1400}} = 0.2
\]
\[
\text{{Доля Крошка Ру}} = \frac{{700}}{{1400}} = 0.5
\]

Теперь, используя новые значения, мы строим новую таблицу и перерисовываем кривую Лоренца:

\[
\begin{{array}}{{|c|c|}}
\hline
\text{{Кумулятивные доли}} & \text{{Кумулятивный доход (фунтов стерлингов)}} \\
\hline
0 & 0 \\
0.05 & 70 \\
0.15 & 210 \\
0.3 & 420 \\
0.8 & 1120 \\
\hline
\end{{array}}
\]

Теперь, чтобы рассчитать новый коэффициент Джини, мы снова находим площадь между линией Лоренца и линией равенства, а также площадь под линией равенства:

\text{{Площадь под линией равенства}} = 0.5 \times 0.5 = 0.25

Находим площади прямоугольников между линией Лоренца и линией равенства:

Прямоугольник 1:
\[
\text{{Площадь прямоугольника}} = 0.05 \times 0.1 = 0.005
\]

Прямоугольник 2:
\[
\text{{Площадь прямоугольника}} = 0.1 \times 0.1 = 0.01
\]

Прямоугольник 3:
\[
\text{{Площадь прямоугольника}} = 0.2 \times 0.2 = 0.04
\]

Прямоугольник 4:
\[
\text{{Площадь прямоугольника}} = 0.5 \times 0.5 = 0.25
\]

Суммируем площади всех прямоугольников:

\[
\text{{Площадь между линией Лоренца и линией равенства}} = 0.005 + 0.01 + 0.04 + 0.25 = 0.305
\]

Теперь можем найти новый коэффициент Джини:

\[
\text{{Коэффициент Джини}} = \frac{{0.305}}{{0.25}} = 1.22
\]

Ответ: Новая кривая Лоренца построена, новый коэффициент Джини равен 1.22.