Вопрос: Какова длина отрезка АD, если сторона АС равна 12 см, и отрезок BD является высотой, проведенной к основанию

Sovunya

70

Чтобы определить длину отрезка AD, нам необходимо использовать свойства равнобедренного треугольника и высоты этого треугольника. Давайте разберемся пошагово.

1. Сначала давайте определим, что значит равнобедренный треугольник. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны между собой. В нашем случае треугольник АВС является равнобедренным, так как сторона АС равна стороне АВ (так как это обозначается высотой, проведенной к основанию).

2. Зная, что треугольник АВС равнобедренный, мы можем утверждать, что у него равны два угла. Это угол А и угол В. У нас есть два угла одинакового размера, которые примыкают к основанию треугольника АВС.

3. Теперь обратимся к свойству высоты треугольника. Высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В нашем случае это треугольники АBD и CBD. Мы будем использовать это свойство для нахождения длины отрезка AD.

4. В треугольнике АВС, сторона АС является основанием, а высота BD является высотой, проведенной к этому основанию. Теперь давайте обратимся к треугольнику АBD. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике прямой угол делит другие два угла таким образом, что их сумма составляет 90 градусов. Из этого следует, что угол АBD и угол АDB являются смежными углами и в сумме равны 90 градусам.

5. Теперь мы можем использовать свойства треугольников и углов, чтобы определить отношение между сторонами треугольника АВС. Так как угол АBD является прямым, то у этого треугольника величина угла АBD равна 90 градусам. Это значит, что треугольник АBD - прямоугольный. Имея прямоугольный треугольник АBD, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения отрезка AD.

6. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b верно следующее уравнение: c^2 = a^2 + b^2. В нашем случае гипотенузой является отрезок AD, а катетами - отрезки AB и BD.

7. Мы знаем, что сторона AC равна 12 см. Так как сторона АС равна стороне АВ, то и сторона АВ также равна 12 см. Это означает, что отрезок AB равен 12 см.

8. Нам осталось выразить отрезок BD через известные нам стороны и найти длину отрезка AD. Для этого давайте обратимся к треугольнику ABD. Мы знаем, что отрезок BD является высотой, проведенной к основанию АС треугольника АВС. Так как треугольник АВС равнобедренный, то мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику ABD следующим образом:

AD^2 = AB^2 - BD^2

Заменяя известные значения, получим:

AD^2 = 12^2 - BD^2

AD^2 = 144 - BD^2

9. Теперь нам нужно выразить BD через известные значения и подставить эту формулу в предыдущее уравнение. Для этого давайте рассмотрим треугольник CBD. Мы знаем, что у треугольника АВС две стороны равны, поэтому у него два угла равны. Угол CBD - это прямой угол, а значит у треугольника CBD величина угла BCD также равна 90 градусам. Это значит, что треугольник CBD - прямоугольный.

10. Мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника CBD и применить теорему Пифагора:

BC^2 = BD^2 + CD^2

Мы знаем, что сторона АС равна 12 см. Так как сторона АС является основанием треугольника АВС, то сторона CD - это половина этой стороны. То есть сторона CD равна 12/2 = 6 см.

Заменяя значения в уравнении, получим:

12^2 = BD^2 + 6^2

144 = BD^2 + 36

BD^2 = 144 - 36

BD^2 = 108

11. Мы нашли длину отрезка BD: BD^2 = 108. Теперь давайте подставим это значение в предыдущее уравнение для AD:

AD^2 = 144 - BD^2

AD^2 = 144 - 108

AD^2 = 36

12. Чтобы найти длину отрезка AD, нам нужно извлечь квадратный корень из 36. Извлекая квадратный корень, мы получим два возможных значения: положительное и отрицательное. Однако в нашем случае речь идет о длине (а значит, о положительном числе), поэтому выбираем положительный квадратный корень:

AD = √36

AD = 6 см

Таким образом, длина отрезка AD равна 6 см.