Возможно ли построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и параллельной плоскости BC1D, если

Карнавальный_Клоун

56

Да, возможно построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и параллельной плоскости BC1D. Давайте рассмотрим пошаговое решение задачи.

1. Нам дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где точка М лежит на ребре АС. Нам также известно, что отношение СМ к СА равно 1:3.

2. Поскольку отношение СМ к СА равно 1:3, мы можем сделать вывод, что длина ребра СМ составляет \(\frac{1}{4}\) от длины ребра СА. Это связано с тем, что параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет прямые углы и соответственные ребра параллельны. Таким образом, \(\frac{CM}{CA} = \frac{1}{4}\).

3. Теперь нам нужно построить плоскость, проходящую через точку М и параллельную плоскости BC1D. Для этого нам необходимо найти направляющий вектор плоскости BC1D.

4. Направляющий вектор плоскости BC1D может быть найден как векторное произведение векторов \( \overrightarrow{BC1} \) и \( \overrightarrow{BD} \). Поскольку плоскость BC1D параллельна плоскости ABCDA1B1C1D1, эти два вектора лежат на плоскости ABCDA1B1C1D1.

5. Вектор \( \overrightarrow{BC1} \) можно найти как разность векторов \( \overrightarrow{B} \) и \( \overrightarrow{C1} \): \( \overrightarrow{BC1} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C1} \).

6. Аналогично, вектор \( \overrightarrow{BD} \) можно найти как разность векторов \( \overrightarrow{B} \) и \( \overrightarrow{D} \): \( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D} \).

7. Вычислив вектор \( \overrightarrow{BC1} \) и вектор \( \overrightarrow{BD} \), мы можем найти направляющий вектор плоскости BC1D и обозначить его как \( \overrightarrow{n} \), где \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC1} \times \overrightarrow{BD} \).

8. Итак, мы найдем направляющий вектор плоскости BC1D. Пользуясь формулой для векторного произведения, получаем:

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC1} \times \overrightarrow{BD} \]

\[ \overrightarrow{n} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C1}) \times (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}) \]

9. Теперь мы получили направляющий вектор плоскости BC1D. С помощью этого направляющего вектора и точки М мы можем составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М и параллельна плоскости BC1D.

10. В общем случае уравнение плоскости может быть записано в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где (A, B, C) - вектор, перпендикулярный плоскости, а (x, y, z) - координаты точки в плоскости (в нашем случае это точка M).

11. Так как плоскость параллельна плоскости BC1D, вектор \( \overrightarrow{n} \) перпендикулярен к этой плоскости.

12. Мы знаем, что плоскость проходит через точку М, и направляющий вектор плоскости BC1D, полученный в шаге 8, перпендикулярен этой плоскости.

13. Таким образом, у нас есть все данные для записи уравнения плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости BC1D.

14. Составим уравнение плоскости, используя эту информацию, и укажем его как \( Ax + By + Cz + D = 0\).

Итак, с помощью вышеперечисленных шагов мы можем решить задачу и построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и параллельной плоскости BC1D.