«Вычислите количество суток, которое потребуется для того, чтобы масса дрожжей в установке достигла заданного значения
«Вычислите количество суток, которое потребуется для того, чтобы масса дрожжей в установке достигла заданного значения, с учетом изменения модели роста и убывания. В начале, в установке заложена 1 т дрожжевой массы, а при поддержании оптимальной температуры, ежедневно добавляется 1,5 т. Однако, из-за повышения температуры, прирост массы составляет 160% в сутки.»
Viktorovich_9101 68
Для решения данной задачи нам необходимо определить количество суток, необходимых для достижения заданного значения массы дрожжей.Дано:
- В начале в установке заложена 1 т дрожжевой массы.
- Ежедневно к массе дрожжей добавляется 1,5 т.
- Прирост массы дрожжей из-за повышения температуры составляет 160% в сутки.
Обозначим искомое количество суток как \( x \).
После первого дня количество дрожжей будет составлять:
\[1 \, \text{т} + 1,5 \, \text{т} = 2,5 \, \text{т}.\]
После второго дня:
\[2,5 \, \text{т} + 1,5 \, \text{т} = 4 \, \text{т}.\]
Таким образом, мы можем заметить, что масса дрожжей увеличивается в геометрической прогрессии с первым членом 1 т и знаменателем 1,5.
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, мы можем определить массу дрожжей через \( x \) дней:
\[1 + 1,5 + 1,5^2 + \ldots + 1,5^{x-1}.\]
Теперь нам нужно выразить эту сумму в виде функции \( x \).
Формула суммы геометрической прогрессии:
\[S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}.\]
Где:
- \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов прогрессии,
- \( a \) - первый член прогрессии,
- \( r \) - знаменатель прогрессии,
- \( n \) - количество членов прогрессии.
В нашем случае \( a = 1 \) и \( r = 1,5 \).
Мы хотим найти значение массы дрожжей через \( x \) дней, поэтому нам нужно выразить сумму геометрической прогрессии через \( x \) дней:
\[S_x = 1 + 1,5 + 1,5^2 + \ldots + 1,5^{x-1}.\]
Подставим значения \( a \) и \( r \) в формулу суммы геометрической прогрессии:
\[S_x = 1 \cdot \frac{1 - 1,5^x}{1 - 1,5}.\]
Упростим данное выражение:
\[S_x = \frac{1 - 1,5^x}{-0,5}.\]
Теперь, зная, что прирост массы дрожжей составляет 160% в сутки, мы можем выразить это как:
\[S_x = 1 \cdot 1,6^x.\]
Из двух полученных выражений для суммы геометрической прогрессии мы можем составить уравнение:
\[\frac{1 - 1,5^x}{-0,5} = 1,6^x.\]
Дальше мы можем решить данное уравнение численно или графически, чтобы найти значение \( x \).
После решения данного уравнения получим значение \( x \), которое будет являться количеством суток, необходимых для достижения заданного значения массы дрожжей.