What is the length of the interval on which the function y = sqrt(9-x)*(x-1) is defined?

Кедр

52

Чтобы определить, на каком интервале определена функция \(y = \sqrt{9 - x} \cdot (x - 1)\), нам нужно рассмотреть два аспекта. Во-первых, корень \(\sqrt{9 - x}\) должен иметь действительное значение, и во-вторых, выражение \((x - 1)\) не должно быть равно нулю в знаменателе.

Для первого аспекта мы можем рассмотреть выражение \(\sqrt{9 - x}\). Квадратный корень определен только для неотрицательных значений в радикале. Это означает, что \(9 - x \geq 0\), так как иначе мы получим отрицательное значение под корнем. Решим неравенство:

\[9 - x \geq 0\]

Из этого неравенства мы получаем \(x \leq 9\).

Теперь рассмотрим второй аспект. Мы не хотим, чтобы \(x - 1\) было равно нулю, так как это привело бы к делению на ноль. Решим это уравнение:

\[x - 1 = 0\]

Отсюда получаем \(x = 1\).

Таким образом, функция \(y = \sqrt{9 - x} \cdot (x - 1)\) будет определена на интервале \([- \infty, 1) \cup (1, 9]\), где \(-\infty\) обозначает отрицательную бесконечность. Для ясности можно записать интервал в виде числовой прямой:

\[
\begin{array}{cccccc}
-\infty & & 1 & & 9 & \\
& \circ & | & \circ & | & \\
& & & & & \\
& & & & & \\
\end{array}
\]