What is the length of the side of the square inscribed in a triangle with base AC = 17 cm and height BD = 5 cm, where

Скользкий_Пингвин

22

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства подобных фигур и теорему Пифагора. Давайте пошагово разберемся с решением.

1. Вначале нам нужно понять, что значит "квадрат, вписанный в треугольник". Это означает, что каждая вершина квадрата прилегает к одной из сторон треугольника, и стороны квадрата параллельны сторонам треугольника.

2. Обозначим длину стороны квадрата как \(x\). Заметим, что сторона квадрата будет лежать на основании треугольника AC. Пусть точка K является вершиной квадрата на стороне AC.

3. Так как сторона квадрата параллельна стороне BC треугольника, то MK будет высотой треугольника BCK.

4. Также, по определению вписанного квадрата, сторона квадрата MK будет перпендикулярна к основанию AC.

5. Итак, у нас получается, что в треугольнике BCK, BD - это высота, MK - это основание, а KN - это длина стороны квадрата.

6. Теперь мы можем использовать формулу площади треугольника, чтобы относительно BD и MK выразить длину стороны квадрата KN:

\[\text{Площадь треугольника BCK} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{height}\]
\[= \frac{1}{2} \cdot MK \cdot BD\]
\[= \frac{1}{2} \cdot x \cdot 5\]

7. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC и использовать теорему Пифагора, чтобы выразить основание MK через стороны треугольника:

В треугольнике ABC, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABD, получим:
\[AB^2 = BD^2 + AD^2\]
\[(17)^2 = 5^2 + AD^2\]
\[289 = 25 + AD^2\]
\[AD^2 = 289 - 25 = 264\]
\[AD = \sqrt{264}\]

В треугольнике ABC применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BCD, получим:
\[BC^2 = BD^2 + CD^2\]
\[(17)^2 = 5^2 + CD^2\]
\[289 = 25 + CD^2\]
\[CD^2 = 289 - 25 = 264\]
\[CD = \sqrt{264}\]

Теперь мы видим, что стороны треугольника ABC равны AB = 17, AD = \(\sqrt{264}\) и CD = \(\sqrt{264}\).

8. Поскольку треугольник ABC - прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления стороны AC:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\[AC^2 = 17^2 + (\sqrt{264})^2\]
\[AC^2 = 289 + 264 = 553\]
\[AC = \sqrt{553}\]

9. Теперь мы можем найти сторону MK, используя подобие треугольников ABC и BCK. Поскольку треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Так как сторона AC треугольника ABC и MK треугольника BCK параллельны и находятся на одинаковом расстоянии от базовой стороны, то длина MK будет пропорциональна длине AC.

\[\frac{MK}{AC} = \frac{BD}{AB}\]
\[\frac{x}{\sqrt{553}} = \frac{5}{17}\]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение x:

\[x = \frac{5 \cdot \sqrt{553}}{17}\]

Вычислив данное выражение, мы получим длину стороны квадрата, вписанного в данный треугольник.