What is the value of cos2B in triangle ABC where ∠C=90° and sinB=33–√1010−−√?

Милашка_7621

58

Для начала, давайте вспомним определение функции косинуса. В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 90°, косинус угла B определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе треугольника.

Таким образом, в нашем случае, где угол C равен 90°, мы можем записать:

\[\cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

Сначала давайте найдем противоположный катет, используя определение функции синуса. Мы знаем, что синус угла B равен \(33 - \sqrt{1010} - \sqrt{10}\).

Таким образом, мы можем записать:

\[\sin B = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}\]

Заметим, что гипотенуза треугольника ABC должна быть положительной величиной, поэтому мы можем получить:

\[\text{противоположный катет} = \text{гипотенуза} \cdot (\sin B)\]

\[= \text{гипотенуза} \cdot (33 - \sqrt{1010} - \sqrt{10})\]

Теперь, рассматривая треугольник ABC, применим теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Поскольку угол C равен 90°, то гипотенуза AC должна быть гипотенузой треугольника ABC. Таким образом, мы можем записать:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\]

Теперь вспомним, что синус угла B равен:

\[\sin B = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}\]

Используя это равенство, мы можем записать:

\[\frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = 33 - \sqrt{1010} - \sqrt{10}\]

Теперь мы можем заменить противоположный катет, используя ранее полученное равенство:

\[\frac{\text{гипотенуза} \cdot (33 - \sqrt{1010} - \sqrt{10})}{\text{гипотенуза}} = 33 - \sqrt{1010} - \sqrt{10}\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[33 - \sqrt{1010} - \sqrt{10} = 33 - \sqrt{AB^2 + BC^2}\]

Мы хотим найти значение \(\cos 2B\), которое мы можем выразить через косинус угла B. Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

\[\cos 2B = 2\cos^2 B - 1\]

Теперь мы можем найти \(\cos B\) с помощью ранее полученного уравнения и вычислить \(\cos 2B\) по формуле.

Пожалуйста, попробуйте осуществить эти вычисления и найдите значение \(\cos 2B\). Если у вас возникнут сложности или вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать вопросы.