What is the value of cos2B in triangle ABC where ∠C=90° and sinB=33–√1010−−√?

Милашка_7621

58

Для начала, давайте вспомним определение функции косинуса. В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 90°, косинус угла B определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе треугольника.

Таким образом, в нашем случае, где угол C равен 90°, мы можем записать:

$$\cos B=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

Сначала давайте найдем противоположный катет, используя определение функции синуса. Мы знаем, что синус угла B равен $33-\sqrt{1010}-\sqrt{10}$.

Таким образом, мы можем записать:

$$\sin B=\frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}$$

Заметим, что гипотенуза треугольника ABC должна быть положительной величиной, поэтому мы можем получить:

$$\text{противоположный катет}=\text{гипотенуза}\cdot (\sin B)$$

$$=\text{гипотенуза}\cdot (33-\sqrt{1010}-\sqrt{10})$$

Теперь, рассматривая треугольник ABC, применим теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$$

Поскольку угол C равен 90°, то гипотенуза AC должна быть гипотенузой треугольника ABC. Таким образом, мы можем записать:

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$$

Теперь вспомним, что синус угла B равен:

$$\sin B=\frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}$$

Используя это равенство, мы можем записать:

$$\frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}=33-\sqrt{1010}-\sqrt{10}$$

Теперь мы можем заменить противоположный катет, используя ранее полученное равенство:

$$\frac{\text{гипотенуза}\cdot (33-\sqrt{1010}-\sqrt{10})}{\text{гипотенуза}}=33-\sqrt{1010}-\sqrt{10}$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$33-\sqrt{1010}-\sqrt{10}=33-\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$$

Мы хотим найти значение $\cos 2B$, которое мы можем выразить через косинус угла B. Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

$$\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1$$

Теперь мы можем найти $\cos B$ с помощью ранее полученного уравнения и вычислить $\cos 2B$ по формуле.

Пожалуйста, попробуйте осуществить эти вычисления и найдите значение $\cos 2B$. Если у вас возникнут сложности или вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать вопросы.