What is the value of gcd(a, b) if lcm(a, b) = 420 and ab = 5040?

Vechernyaya_Zvezda

49

Давайте начнем с определений. Первый термин - НОК, или наименьшее общее кратное (lcm). НОК двух чисел - это наименьшее положительное число, которое делится на оба исходных числа без остатка.
Второй термин - НОД, или наибольший общий делитель (gcd). НОД двух чисел - это наибольшее положительное число, которое делится на оба исходных числа без остатка.
Теперь мы можем перейти к решению задачи.

Мы знаем, что НОД и НОК связаны между собой формулой:
\[НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = ab\]
Также нам даны следующие уравнения:
\[lcm(a, b) = 420\]
\[ab = 5040\]

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значение НОД(a, b). Давайте посмотрим, как это сделать.

По определению НОК, мы можем записать:
\[lcm(a, b) = \frac{{ab}}{{НОД(a, b)}}\]
Подставляя значения lcm(a, b) и ab, получаем:
\[420 = \frac{{5040}}{{НОД(a, b)}}\]

Для решения этого уравнения, мы можем сократить его обе стороны на 420:
\[1 = \frac{{5040}}{{НОД(a, b) \cdot 420}}\]

Теперь мы можем найти значение НОД(a, b) путем деления 5040 на 420:
\[1 = \frac{{5040}}{{НОД(a, b) \cdot 420}}\]
\[НОД(a, b) \cdot 420 = 5040\]
\[НОД(a, b) = \frac{{5040}}{{420}}\]
\[НОД(a, b) = 12\]

Таким образом, значение НОД(a, b) равно 12.