Як довго буде летіти снаряд, якщо його випустили з швидкістю 800 м/с та під кутом 30° до горизонту? Яка буде висота

Veterok

17

Щоб визначити, як довго буде летіти снаряд, спочатку розкладемо початкову швидкість \(v_0\) на дві компоненти - горизонтальну \(v_0_x\) та вертикальну \(v_0_y\). Для цього використовуємо тригонометрію:

\[v_0_x = v_0 \cdot \cos(\theta)\]
\[v_0_y = v_0 \cdot \sin(\theta)\]

де \(v_0\) - 800 м/с, а \(\theta\) - 30°.

Обчислимо значення:

\[v_0_x = 800 \cdot \cos(30°) \approx 800 \cdot 0,866 = 693,6 \, \text{м/с}\]
\[v_0_y = 800 \cdot \sin(30°) \approx 800 \cdot 0,5 = 400 \, \text{м/с}\]

Тепер з"ясуємо, скільки часу снаряд буде летіти. Для цього використовуємо вертикальну компоненту швидкості \(v_0_y\) та сили тяжіння. Вертикальний рух снаряду описується такою формулою:

\[y = v_0_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2\]

де \(y\) - висота, \(t\) - час, а \(g\) - прискорення вільного падіння (приблизно 9,8 м/с^2).

На висоті максимального підйому снаряд має нульову вертикальну швидкість, тому можемо записати:

\[0 = v_0_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2\]

Запишемо це рівняння у квадратному вигляді:

\[\frac{1}{2} g t^2 - v_0_y \cdot t = 0\]

Або:

\[4,9 t^2 - 400 t = 0\]

Розв"яжемо це рівняння і знайдемо час підняття:

\[t_1 = 0 \quad \text{або} \quad t_2 = \frac{400}{4,9} ≈ 81,63 \, \text{с}\]

Отже, снаряд буде летіти протягом 81,63 секунди.

Тепер давайте визначимо висоту, на яку підніметься снаряд. Для цього підставимо знайдений час \(t_2\) в формулу для висоти:

\[y = v_0_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2\]
\[y = 400 \cdot 81,63 - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (81,63)^2\]
\[y ≈ 32 652,52 - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 6 671,77\]
\[y ≈ 32 652,52 - 32 668,29\]
\[y ≈ -15,77 \, \text{м}\]

Отже, снаряд підніметься на висоту приблизно 15,77 метра над своєю початковою точкою.

Нарешті, визначимо відстань, на яку впаде снаряд. Для цього знайдемо горизонтальну складову \(x\) шляху, який пройде снаряд, протягом часу \(t_2\):

\[x = v_0_x \cdot t_2\]
\[x = 693,6 \cdot 81,63\]
\[x ≈ 56 618,57 \, \text{м}\]

Отже, снаряд впаде на землю, пролетівши відстань приблизно 56 618,57 метра.