Як довго м яч перебував у повітрі, якщо його кинули під кутом до горизонту і він досяг висоти 20 метрів?

Irina

55

Для решения данной задачи, нам нужно использовать физические законы движения тела под углом к горизонту. Одним из таких законов является закон сохранения энергии. В общем случае, энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия обусловлена движением тела и определяется формулой \(E_{к} = \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) - масса объекта, \(v\) - скорость объекта. Потенциальная энергия зависит от положения тела относительно некоторого опорного уровня и вычисляется по формуле \(E_{п} = mgh\), где \(h\) - высота объекта над уровнем опоры, \(g\) - ускорение свободного падения.

В данной задаче мяч кидается под углом к горизонту, поэтому применяется разложение скорости на горизонтальную и вертикальную компоненты. Вертикальное движение мяча подвержено гравитационной силе, которая уменьшает его вертикальную скорость и, в конечном итоге, замедляет движение до полной остановки на высоте 20 метров.

Используя закон сохранения энергии, мы можем установить соотношение между начальной энергией мяча (кинетической и потенциальной) и его энергией на высоте 20 метров.

Первоначально у мяча есть только кинетическая энергия, так как его потенциальная энергия равна нулю. Поэтому мы можем записать:
\[E_{к0} = \frac{mv_0^2}{2}\]
где \(v_0\) - начальная скорость мяча.

На высоте 20 метров у мяча имеется только потенциальная энергия, так как его кинетическая энергия равна нулю. Получаем:
\[E_{п1} = mgh_1\]
где \(h_1\) - высота мяча над уровнем земли.

Используя закон сохранения энергии, мы можем установить равенство между начальной и конечной энергией мяча:
\[E_{к0} = E_{п1}\]
\[\frac{mv_0^2}{2} = mgh_1\]

Масса мяча \(m\) сокращается, и мы можем получить следующее уравнение:
\[\frac{v_0^2}{2} = gh_1\]

Теперь мы можем выразить начальную скорость мяча \(v_0\) через высоту \(h_1\):
\[v_0 = \sqrt{2gh_1}\]

Значение \(g\) - ускорение свободного падения на Земле примерно равно 9.8 м/с\(^2\). Так как нам известна высота мяча \(h_1 = 20\) метров, мы можем подставить и рассчитать значение начальной скорости \(v_0\).

\[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 20}\]
\[v_0 \approx 19.8\) м/с

Скорость мяча под углом к горизонту равна горизонтальной составляющей его начальной скорости. При движении под углом к горизонту, горизонтальная скорость \(v_x\) сохраняется и не зависит от вертикального движения. Таким образом, время, которое мяч находится в воздухе, равно времени, за которое он достигает высоты 20 метров и возвращается на землю.

Мы можем рассчитать время полета до достижения 20 метров:
\[h_1 = \frac{gt^2}{2}\]
\[20 = \frac{9.8t^2}{2}\]

Решив это уравнение, мы получаем:
\[t^2 = \frac{40}{9.8}\]
\[t \approx \sqrt{4.08}\]
\[t \approx 2.02\) сек

Так как время полета до достижения 20 метров равно времени полета до достижения земли, то мы можем удвоить это время:
\[2 \times 2.02 \approx 4.04\) сек

Таким образом, мяч в воздухе находится около 4.04 секунды.